確率と基本的性質(場合の数と確率)|高校数学のつまずきやすい単元を徹底解説!

数学が苦手なお子さんの数は中学、高校とも学年が上がっていくごとに増えていきますよね。特に中学から高校に上がって高校1年生から分からなくなってしまう人が多いです。今回は高校1年生の数学の中でも確率と基本的な性質について書いていきたいと思います。確率は数学はもちろん、物理などでも使うのでしっかりと押さえておきたいですよね。


あすなろには、毎日たくさんのお悩みやご質問が寄せられます。
この記事は数学の教科書に基づいて高校生のつまずきやすい単元の解説を行っています。

文部科学省 学習指導要領「生きる力」

http://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/new-cs/index.htm

確率とは

確率とは根元事象がすべて同様に確からしいとき、事象Aの起きる確率\(P(A)\)は、
\(P(A)=\frac{n(A)}{n(U)}\)
\(n(A)\) : 事象Aの起きる場合の数
\(n(U)\) :起こりうる全ての場合の数
と表せます。また、よく出てくる単語の意味をいくつか紹介しておきます。

試行

同じ条件で繰り返し行うことができ、その結果が偶然によって決まる実験や観測を行うこと。

事象

試行の結果として起こることがら。

同様に確からしい

同じように起こる可能性があることを言う。

根元事象

さらに細かく分解して考えることができない事象のこと。

基本的性質

確率では公式に当てはめるだけという問題はほとんどなく、自分でどのような場合があるかを考えて計算をしなければいけません。確率の基本的な性質を使うことが多いので、しっかりとおさえておきましょう。

\(0≤P(A)≤1\)

どんな事象Aでも確率は0以上1以下です。

\(P(U)=1\)

確率は全部の確率を足すと1になります。

\(P(φ)=0\)

空事象φの確率は0です。なぜなら起きるはずのない事象が起きる確率を考えているからです。

\(P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)\)

事象Aまたは事象Bが起きる確率を考えるときは注意が必要です。事象Aが起きる確率にも事象Bが起きる確率の中にも「事象Aと事象Bの両方が起きる確率」が含まれているからです。

確率の問題でよく出てくるパターン

確率の分野でよく出てくるパターンがいくつかあるので考え方、解き方を紹介していきます。

順列・組み合わせを利用する

起こりうる全ての事象の数や目的の事象の起きる場合の数を、順列Pや組み合わせCの式を使って考える問題はよく出てきます。順列・組み合わせの内容はしっかりとおさえておきましょう。

余事象を使う

事象Aに対して、Aが起こらないという事象をAの余事象といい、\(\bar{A}\)で表します。確率はすべて足すと1になるので事象Aが起きる確率をP(A)とすると、事象Aが起こらない確率は全体の確率1からP(A)を引くと求めることができます。

独立試行の確率

2つ以上の試行を考えるとき、どの試行の結果も他の試行の結果に影響しない場合、これらの試行は独立であるといいます。2つの試行S、Tが独立であるとき、試行Sで事象Aが起き、試行Tで事象Bが起きる事象をCとすると、
\(P(C)=P(A)P(B)\)

反復試行の確率

同じ条件で同じ試行を繰り返すとき、この1連の試行を反復試行といいます。反復試行ではそれぞれの試行は互いに独立です。1回の試行で事象Aの起きる確率をpとすると、この試行をn回繰り返してAがちょうどr回起こる確率は、
\(_n C_r p^r {(1-p)}^{(n-r)} \)

条件付き確率

条件付き確率とはある事象が起きた時に他の事象が起きる確率のことです。事象Aが起きた時に事象Bが起きる確率\(P_A (B)\)は、
\(P_A (B)=\frac{P(A∩B)}{P(A)}\)

よくある例題

確率についての例題をいくつか紹介していきます。

例題 (基本)

2個のサイコロを同時に投げるとき、出た目の和が7となる確率求めよ。

解答

目の出方は全部で6×6=36通り。このうち出た目の和が7になるのは(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)の6通りなので求める確率は、
\(\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\)

例題 (組み合わせを使う)

赤玉3個と青玉4個が入っている袋から,2個の玉を同時に取り出すとき,2個の玉の色が異なる確率を求めよ。

解答

玉はすべて区別できると考え、7個の玉から2個取り出す場合の数は\(_7 C_2\) 通り、このうち、3個の赤玉から1個、4個の青玉から1個を取り出す場合の数は\(_3 C_1\) ×\(_4 C_1\) 通りであるので求める確率は、
\(\frac{_3 C_1 ×_4 C_1 }{_7 C_2} =\frac{3⋅4}{\frac{7⋅6}{2⋅1}}=\frac{4}{7}\)

例題 (余事象を使う)

4本の当たりが含まれている10本のくじから、同時に3本のくじを引くとき、少なくとも1本が当たりくじである確率を求めよ。

解答

少なくとも1本が当たりである確率を考えるときは1本も当たらない確率P(A)を1から引けばいいので、
\(P(A)=\frac{_6 C_3}{_{10} C_3} =\frac{\frac{6⋅5⋅4}{3⋅2⋅1}}{\frac{10⋅9⋅8}{3⋅2⋅1}}=\frac{1}{6}\)
\(1-P(A)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\)

例題 (条件付き確率)

ある学校の生徒1学年の中で文理選択のアンケートを行ったところ、理系を選んだ人は全体の40%であった。その中で生物と物理の科目選択で物理を選んだ人は全体の24%であった。アンケートで理系を選んだ人の中から1人選んだ時、その人が科目選択で物理を選んでいる確率を求めよ。

解答

生徒1学年の中から1人選んだとき、その人がアンケートで理系を選んだと答える事象をA、その人が物理を選んだと答える事象をBとすると、
\(P(A)=\frac{40}{100},P(A∩B)=\frac{24}{100}\)
よって求める確率は、
\(P_A (B)=\frac{P(A∩B)}{P(A)}=\frac{24}{100}÷\frac{40}{100}=\frac{3}{5}\)

例題 (反復試行の確率)

1つのサイコロを4回投げ、3の倍数が1回出る確率を求めよ。

解答

サイコロを1回投げたとき、3の倍数 3か6の目が出る確率は\(\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)
よって求める確率は、
\(_4 C_1 (\frac{1}{3})^1 {(1-\frac{1}{3})}^{4-1}=\frac{32}{81}\)

確率攻略法

確率は苦手だと感じている人が多い分野です。確率が苦手な人には順列と組み合わせがごっちゃになってしまっている人や見た目の同じものを区別して考えられていないといった原因が多いです。事象Aが起きる確率は事象Aの場合の数をすべての場合の数で割ると求められます。問題文を読んで、今から求める確率のイメージがしづらいときは具体的な例を書き出すといいですよ。具体例を書きだすとイメージがしやすくなりますし、極端に言ってしまえば、求めたい確率の場合の数をすべて数えれば確率は求めることができます。

関連記事があります

比較級を使った表現|高校英語のつまずきやすい単元を徹底解説!
三角比の応用編|高校数学のつまずきやすい単元を徹底解説!
順列と組み合わせ(場合の数と確率)|高校数学のつまずきやすい単元を徹底解説!
高校生になってから勉強についていけない理由と対策!
関係代名詞の使い分け|高校英語のつまずきやすい単元を徹底解説!

目からウロコの体験授業が無料で0円 先生と生徒たちの楽しそうな写真 たった15分でだれでも楽しみながら、大きく点数アップ↑できる勉強法を教えます!お申し込みはとってもカンタン!無料の体験授業に申し込む

もし、他のところと迷われたら…一番にお電話ください。
あすなろでは、家庭教師が初めての方に安心していただけるよう、質問や疑問に丁寧にお答えします。無理な勧誘は一切無いことをお約束いたします。

無料の体験授業

昨年(2018年)は1,602人が体験授業で実感!
わかる」喜びと「できる」自信が持てる無料の体験授業実施中!

私たちは、一人でも多くのお子さんに「勉強のおもしろさ」を知ってほしい。そんな想いで無料の体験授業を実施しています。私たちは、一人ひとりのお子さんの目線に立って、得意・苦手な分野に合わせて、勉強のやり方を提案します。この体験授業がお子さんの勉強の悩みを解消するキッカケになれば嬉しいです。

無料の体験授業で、「たった15分の勉強で、今までの3倍の効果を出せる勉強方法」を無料体験で実感してみませんか?勉強が苦手な子ほど、ほんの少しのキッカケで必ず変えてみせます!

フリーコール0120-32-4152 午前9時~午後10時土日祝も受付しております

あすなろのお約束

  • 学校の授業・教科書を中心に、苦手科目に合わせて5教科指導しています。
  • 国公立大学を中心に、「お子さんの成績アップを手伝いたい!」とやる気と熱意溢れる家庭教師をご紹介します。万一、相性が合わない場合無料で何度でも交代ができます。
  • お子さんの習熟度に合わせて、成績アップと第一志望合格を目指して指導を行ないます。
  • 私たちが目指すのは、「あすなろでやってよかった!」と実感していただくことです。
あすなろまるわかりBOOKを資料請求する
無料の体験授業に申し込む
受験勉強が100倍楽しくなる本を資料請求する
発達障害・不登校のお子さんのためのサポートブックを資料請求する