【中3数学】多項式を展開するときの4つの便利な公式を覚えよう!

こんにちは、あすなろスタッフのカワイです。

多項式同士の掛け算には、活用することが出来る4つの公式があります!

今回は、この公式がどのように導かれているのかを解説して、実際の計算でどのように用いられるかを解説していきます!

前回の記事はこちら:【中3数学】多項式同士の掛け算のやり方を解説します!


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この記事は数学の教科書に基づいて中学校3年生のつまずきやすい単元の解説を行っています。

文部科学省 学習指導要領「生きる力」

http://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/new-cs/index.htm

4つの乗法公式

乗法公式はこの4つです。

  • \((x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+ab\)
  • \((x+a)^{2}=x^{2}+2ax+a^{2}\)
  • \((x-a)^{2}=x^{2}-2ax+a^{2}\)
  • \((x+a)(x-a)=x^{2}-a^{2}\)

この公式を見たときに分かると思いますが、基本的に「同じ変数を含む」かつ「互いの多項式の項数が2」の多項式に使用することが出来ますが、考え方を拡張することでそれ以外の場合でも使うことが出来る場合があります。

では、1番上の公式から順に考えていきましょう。

数学者が考えているイラスト

\((x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+ab\)

まず、\((x+a)(x+b)\)を普通の解き方に則って解いていきます。これらは4つの項を含む式に分解することが出来るので、

$$(x+a)(x+b)=x×x+x×a+x×b+a×b$$

$$=x^{2}+ax+bx+ab$$

ここで、\(ax\)と\(bx\)は同類項であるので、これをまとめてしまうと、

$$=x^{2}+(a+b)x+ab$$

これは上記の式に一致しました。

\((x+a)^{2}=x^{2}+2ax+a^{2}\)

次は同じ多項式同士が掛けられている場合、すなわち、2乗となっている場合にこのように展開できるという公式です。

この式の左辺は\((x+a)(x+a)\)と書くことが出来ますが、これは1つ目の公式\((x+a)(x+b)\)の\(b\)が\(a\)に変わっただけと言えます。従って、1つ目の公式の\(b\)を\(a\)に置き換えると、

$$=x^{2}+(a+a)x+ab$$

$$=x^{2}+2ax+ab$$

となり、これが2つ目の公式に一致します。

\((x-a)^{2}=x^{2}-2ax+a^{2}\)

これは2つ目の式の左辺\((x+a)^{2}\)が\((x-a)^{2}\)に変わっただけの式になります。今度は真面目に解いていきます。

$$(x-a)(x-a)=x×x-x×a-x×a+(-a)×(-a)$$

$$=x^{2}-ax-ax+a^{2}$$

ここで、\(-ax\)と\(-ax\)は同類項なので、

$$x^{2}-2ax+a^{2}$$

となります。これは3つ目の公式と確かに一致しています。

2つ目の公式と比較すると、\(+2ax\)が\(-2ax\)に変わっているだけなので、2つ目の公式と3つ目の公式はほとんど同じですね。

\((x+a)(x-a)=x^{2}-a^{2}\)

最後はこの式です。これも真面目に解いていきます。

$$(x+a)(x-a)=x×x+x×(-a)+x×a+a×(-a)$$

$$x^{2}-ax+ax-a^{2}$$

$$x^{2}-a^{2}$$

となり、これも証明することが出来ました。\(x\)の項は途中で相殺されて、2つの項だけが残ります。

このような4つの式を用いることで、多項式の計算を効率的に解くことが出来ます!

これらの公式を用いて、早速例題を解いてみましょう。

公式を用いて例題を解いてみよう!

1.\((x+2)(x-3)\)

掛け合わされた2つの多項式が(x+〇)となっているので、公式が使えそうです。数字のみの項の絶対値が違うので、\((x+a)(x+b)\)の公式が使えそうです。

\(a\)を\(2\)、\(b\)を\(-3\)と置いてみると、これをそのまま代入してあげれば解くことが出来ます。

$$(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+ab$$

$$(x+2)(x-3)=x^{2}+(2-3)x+2×(-3)$$

$$=x^{2}-x-6$$

となります。

2. \((x+3)^2\)

この式は丸々2つ目の公式で解くことが出来ます。

$$(x+a)^{2}=x^{2}+2ax+a^{2}$$

より、\(a\)を\(3\)とすると、

$$(x+3)^{2}=x^{2}+2×3x+3^{2}$$

$$=x^{2}+6x+9$$

となります。

3.\((y-4)^{2}\)

変数が\(x\)でなくても同様に、公式を用いて考えることが出来ます。

$$(y-a)^{2}=y^{2}-2ay+a^{2}$$

より、\(a\)を\(4\)とすると、

$$(y-4)^{2}=y^{2}-8y+16$$

となります。

4.\((x-2)(x+2)\)

数字の部分の絶対値が等しいので、4つ目の公式が使えます!

$$(x-a)(x+a)=x^{2}-a^{2}$$

\(a\)を\(2\)とすると、

$$(x-2)(x+2)=x^{2}-4$$

となります。

まとめ

いかがでしたか?いきなり公式を覚えるのは大変ですが、問題を解いていくうちに自然と身についていくと思います。これらの公式は次の単元で考えていく内容に大きくつながっていくので、覚えるようにしましょう!

やってみよう!

次の問題を解いてみよう

  1. \((x+5)(x+3)\)
  2. \((x+4)(x-4)\)
  3. \((x+2)^{2}\)
  4. \((x-5)^{2}\)

答え

  1. \(x^{2}+8x+15\)
  2. \(x^{2}-16\)
  3. \(x^{2}4x+4\)
  4. \(x^{2}-10x+25\)

最後までご覧いただきありがとうございました。
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