【中2数学】連立方程式の代入法ってなに?いつどのように使うのか、解説します!

こんにちは、あすなろスタッフのカワイです!

今回は連立方程式の解き方の一つである「代入法」について解説していきます。

「代入法」は、「加減法」と同様に連立方程式を解く際に用いられる方法の1つです。加減法で殆どの問題を解くことが出来ますが、代入法を用いたほうがより早く、楽に解くことが出来る場合があります。使い分けができるようになるために、頑張って勉強していきましょう!

では、解説していきます!

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代入法とは?

代入法とは、ある連立方程式の一方の式の文字に式ごと代入して解く方法です。一方の式のある文字の係数が1の場合、加減法を用いるより代入法を用いたほうが早い場合があります。

と、言葉で説明してもよく分からないと思うので、早速例題を見ていきましょう。

例1.\(x\)の係数が1の式を含む連立方程式

\begin{eqnarray}\left\{ \begin{array}{l}x + 4y = 7 \ \ \ \ \ ①\\5x – 3y =12 \ \ \ ②\end{array}\right.\end{eqnarray}

①と②の式はどちらも2元1次方程式で、加減法で解くことが出来ます。

一方で、①式の\(x\)の係数が1なので、上で説明したように「代入法」を用いたほうが早く解くことが出来ます。

まず、①式を\(x=\)の形に変形していきます。

$$x+4y=7$$

$$x=7-4y \ \ \ ①´$$

①式を変形した式を①´式とします。この形に変えることが出来たら、これを②式の\(x\)に式ごと代入していきます。

$$5\color{red}{x}-3y=12$$

$$5\color{red}{(7-4y)}-3y=12$$

()で囲んだ部分が①´式の右部分になっています。これを計算していきます。

$$35-20y-3y=12$$

$$-23y=-23$$

$$y=1$$

計算より、\(y\)の解は\(1\)であると分かりました。

では、\(y=1\)を①´式に代入して、\(x\)を導出してみましょう。

$$x=7-4×1$$

$$x=3$$

従って、\(x\)の解は\(3\)となります。

解の形に書くとこうなります。

\begin{eqnarray}\left\{ \begin{array}{l}x=3\\y=1\end{array}\right.\end{eqnarray}

一連の計算を見てもらいましたが、代入法は加減法と異なり、「筆算」を行う必要がありません。従って、係数を合わせる必要もなく、計算が非常に簡単になります。

余裕がある方は、この例題を加減法でも解いてみると、計算のやり方の違いが理解できていいかもしれません!

もう一つ例題を見ていきましょう。

例2. \(y\)の係数が1の式を含む連立方程式

\begin{eqnarray}\left\{ \begin{array}{l}5x + 3y = 1 \ \ \ ①\\3x + y = 3 \ \ \ \ \ ②\end{array}\right.\end{eqnarray}

今度は②式の\(y\)の係数が\(1\)なので、②式を変形して、\(y\)の関数に書き換えてみましょう。

$$3x+y=3$$

$$y=3-3x \ \ \ ②´$$

変形した②式を②´式としましょう。では、②´式を①式の\(y\)の部分に代入していきましょう。

$$5x+3\color{red}{y}=1$$

$$5x+3\color{red}{(3-3x)}=1$$

$$-4x=-8$$

$$x=2$$

計算した結果、\(x=2\)が解だと分かりました。

この値を②´に代入すると、

$$y=3-3x$$

$$y=3-3×2$$

$$y=-3$$

となり、この連立方程式の解は

\begin{eqnarray}\left\{ \begin{array}{l}x=2\\y=-3\end{array}\right.\end{eqnarray}

であると分かりました。

まとめ

  • 連立方程式で係数が1の変数がある式があったら、「代入法」で解こう!
  • 係数1の変数の関数にして、もう一方の式に代入すれば解ける!

加減法と比べると、簡単な計算過程で解くことができる代入法を覚えない手はないですね!前に数字のついていない\(x\)や\(y\)を見つけたら、「この問題はもらった!」と思える位になるまで、解く練習をしてみてください。

やってみよう

次の連立方程式の解を示してみよう。

  1. \begin{eqnarray}\left\{ \begin{array}{l}3x – 2y = 5 \ \ \ ①\\x + 4y = -3 \ \ \ \ \ ②\end{array}\right.\end{eqnarray}
  2. \begin{eqnarray}\left\{ \begin{array}{l}4x +y = 6 \ \ \ ①\\x + 2y = 5 \ \ \ \ \ ②\end{array}\right.\end{eqnarray}

こたえ

  1. ②式$$x+4y=-3$$より$$x=-3-4y$$これを①式に代入すると、$$3(-3-4y)-2y=5$$より$$-14y=14$$で、$$y=-1$$となる。これを②式に代入すると、$$x=-3-4×-1$$より$$x=1$$従って、\begin{eqnarray}\left\{ \begin{array}{l}x=1\\y=-1\end{array}\right.\end{eqnarray}
  2. ①式$$4x+y=6$$より$$y=6-4x$$これを②式に代入すると、$$x+2(6-4x)=5$$より$$-7x=-7$$で、$$x=1$$となる。これを①式に代入すると、$$y=6-4×1$$より$$y=2$$従って、\begin{eqnarray}\left\{ \begin{array}{l}x=1\\y=2\end{array}\right.\end{eqnarray}

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