【中1数学】比例のグラフの書き方とそのグラフの特徴について知ろう!(その1)

こんにちは、あすなろスタッフのカワイです。

今回は、前回勉強した比例を用いて、比例のグラフを作成していこうと思います。

グラフを用いて何か意味があるの?と思うかもしれません。しかし、グラフは目で大体の情報を抜き取ったり、比較したりすることができるという意味で重要なものです。

では、今回も解説していきます!

関連記事:【中1数学】比例ってなんだろう?どういう時に必要になるのか、解説します! 


あすなろには、毎日たくさんのお悩みやご質問が寄せられます。
この記事は数学の教科書に基づいて中学校1年生のつまずきやすい単元の解説を行っています。

文部科学省 学習指導要領「生きる力」

http://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/new-cs/index.htm

小学校のおさらい

1本100円の鉛筆があります。本数と合計金額の関係をグラフに表してみよう。

この問題は、問題の設定をもとにグラフを作成することが目標です。

手順はこの通りです。

  1. 問題から式をつくる
  2. 式から表を作成する
  3. 表の値をグラフに置く

では、まずこの関係を式で表してみましょう。

何本買っても1本あたりの鉛筆の価格は変わらないので、比例定数は100(円)として良さそうです。

本数を\(x\)(本)、合計金額を\(y\)(円)とすると、この式は

$$y=100x$$

と書くことができます(ただし、本数はマイナスにはならないので、\(x≧0\))。

では、これを基に、表を作成してみましょう。

\(x\):本数(本) 0 1 2 3 4 5 8
\(y\):合計金額(円) 0 100 200 300 400 500 800

このような形になりますね。これは\(x\)に値を入れたときの計算結果(\(y\))の値をぞれぞれ上下で入れてあげれば、上のように作成できます!

では、これをグラフに置いてみましょう。

y=100xのグラフ

表に入れた部分について、対応する部分に点を打つとこうなります。

図より、これらの点は0を通る一直線を描くことができることが分かりました。

と、ここまでは小学6年生の頃の復習です!!何となく覚えているでしょうか?もし怪しいな…と思ったら復習をして次に進みましょう。

ここでいくつか新しい言葉を導入していきます。

横軸:\(x\)

横軸:\(y\)

\(x\)軸と\(y\)軸を合わせた呼び方:座標軸

\(x\)軸と\(y\)軸の交わる点(\(x\)と\(y\)の値がどちらも0の点):原点

では、中学の内容に入っていきましょう。

.進む時間と位置の関係

人がある一方向に1時間に2kmの速さで止まらずに歩いています。0kmの地点を通った時間を0として、この人の進んだ時間と位置の関係をグラフに表してみよう。

問題のとおり、止まることなく1時間に2km進むということなので、2時間で4km、3時間だと…という風に予測することができそうです。

これだけでは小学校で習った問題と変わりません。これはもう中学生の勉強なので、マイナスの考え方を導入してみましょう。

この人は止まらずに歩き続けているという事なので、時間をはかり始める前も同様に歩いていたと考えてみましょう。

すると、1時間前は0の2km前の地点にいると考えることができませんか?同様に、2時間前は?3時間前は?と知ることができそうです。

さて、この関係を式にしてみましょう。時間が一定なので、これが比例定数としましょう。時間を\(x\)(時間)、そのときの位置を\(y\)(km)とすると、式は

$$y=2x$$

とおくことができます。

では、これを基に、表を作成してみましょう。

\(x\):時間 -3 -2 -1 0 1 2 3
\(y\):位置 -6 -4 -2 0 2 4 6

この表をグラフに置いてみましょう。

y=2xのグラフ

マイナスが含まれたので、グラフの表示域が拡大しました。

このグラフでも同様に原点を通り、全ての点が一直線上にあることが分かります。

そして、1や2などの整数で表される時間以外の値も、グラフから読み取ることができます。

例えば、0と1時間の間(0.5時間)の時にどこにいるのかな…と考えた時に、

y=2xでx=0.5のときy=1かを推測する図

\(y\)軸の1と交差している部分かな?と大体推測することができます。これを実際に式より計算してみると、

$$y=2×0.5$$

$$y=1$$

より、確かにこの\(x=0.5\)(時間)に対応する\(y\)は\(1\)(km)だと分かりました。

グラフを使うと、計算をせずに大まかな予測を目で見て確認することができます。

今度は、この人が進む速さを1時間に3kmとしてみましょう。

上と同様に考えると、式は

$$y=3x$$

となり、これをグラフに表すと、

y=2xとy=3xのグラフ

こうなりました。緑で書いたのが\(y=3x\)、赤で書いたのが例で示した\(y=2x\)となります。

この2つのグラフの違いは何でしょうか?

そうです、グラフの傾きが異なります。

\(y=3x\)のグラフの方が傾きが急になっていることが見て分かりますね。従って、比例定数が大きいほど、グラフの傾きが急になるということが分かります。

逆に同じ部分はどこかというと、どちらも原点を通っています。それは式の\(y\)か\(x\)に0を入れると、式の計算より、もう一方が0になることから分かりますね。

今回はここまでです!

まとめ

グラフの書き方

  1. 問題から式をつくる
  2. 式から表を作成する
  3. 表の値をグラフに置く

比例の関数のグラフの特徴(比例定数が正の場合)

  • 原点を通り、右上から左下までの一直線となる
  • 比例定数が大きいほど傾きが急になる

いかがでしたか?比例の問題からグラフを作成する方法を解説しました。

次回は、比例定数が負の場合の場合、グラフはどうなるのか?について解説していきます。

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