こんにちは、あすなろスタッフのカワイです！
今回は連立方程式の解き方の一つである代入法について解説していきます。
代入法は、加減法と同様に連立方程式を解く際に用いられる方法の1つです。加減法でほとんどの問題を解くことが出来ますが、代入法を用いたほうがより早く、楽に解くことが出来る場合があります。計算方法の選択肢を増やしておくと、計算ミスを減らしたり、検算をする際にとても役に立ちます。どちらも使うことができるようになるために、学んでいきましょう！
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この記事は数学の教科書に基づいて中学校2年生のつまずきやすい単元の解説を行っています。
文部科学省 学習指導要領「生きる力」
代入法とは？
代入法とは、ある連立方程式の一方の式の文字に式ごと代入して解く方法です。一方の式のある文字の係数が1の場合、加減法を用いるより代入法を用いたほうが早い場合が多いです。
たとえば、
\(x+△y=□ …①\)
\(▲x+■y=● …②\)
という2式による連立方程式があったとします。
①式の\(x\)は係数が1であることから、簡単な移項をするだけで\(x=□-△y\)というxの式で表すことができます。
\(x\)の式の形にすると嬉しいのは、②式の\(x\)の部分に\(□-△y\)を代入すれば②式はたちまち変数がyだけの式に変えることが出来るからです。加減法のように、係数を合わせるために一方の式に数を掛けて、ひっ算をする、ということをする必要がありません。
言葉で説明してもよく分からないと思うので、例題を用いて解説していきます。
例1.\(x\)の係数が1の式を含む連立方程式
\begin{eqnarray}\left\{ \begin{array}{l}x + 4y = 7 \ \ \ \ \ ①\\5x – 3y =12 \ \ \ ②\end{array}\right.\end{eqnarray}
①と②の式はどちらも2元1次方程式なので、加減法で解くことが出来ます。
しかし、①式の\(x\)の係数が1なので、上で説明したように「代入法」を用いたほうがより早く楽に解くことが出来ます。
まず、①式を\(x=\)の形に変形していきます。
$$x+4y=7$$
$$x=7-4y \ \ \ ①´$$
①式を変形した式を①´式とします。この形に変えることが出来たら、これを②式の\(x\)に式ごと代入していきます。
$$5\color{red}{x}-3y=12$$
$$5\color{red}{(7-4y)}-3y=12$$
()で囲んだ部分が①´式の右部分になっています。これを計算していきます。
$$35-20y-3y=12$$
$$-23y=-23$$
$$y=1$$
計算より、\(y\)の解は\(1\)であると分かりました。
では、\(y=1\)を①´式に代入して、\(x\)を導出してみましょう。
$$x=7-4×1$$
$$x=3$$
従って、\(x\)の解は\(3\)となります。
解の形に書くとこうなります。
\begin{eqnarray}\left\{ \begin{array}{l}x=3\\y=1\end{array}\right.\end{eqnarray}
この計算を加減法でやろうとすると、係数を合わせてひっ算をするという手間が増えるので、非常に面倒なことになります。
代入法では計算があっさり終わるので、短時間で楽に計算することができます。
もし余裕がある方は、この例題を加減法でも解いてみると、計算のやり方の違いが理解できていいかもしれません！
もう一つ例題から考えていきましょう。
例2. \(y\)の係数が1の式を含む連立方程式
\begin{eqnarray}\left\{ \begin{array}{l}5x + 3y = 1 \ \ \ ①\\3x + y = 3 \ \ \ \ \ ②\end{array}\right.\end{eqnarray}
今度は②式の\(y\)の係数が\(1\)なので、②式を変形して、\(y\)の関数に書き換えてみましょう。
$$3x+y=3$$
$$y=3-3x \ \ \ ②´$$
変形した②式を②´式としましょう。では、②´式を①式の\(y\)の部分に代入していきましょう。
$$5x+3\color{red}{y}=1$$
$$5x+3\color{red}{(3-3x)}=1$$
$$-4x=-8$$
$$x=2$$
計算した結果、\(x=2\)が解だと分かりました。
この値を②´に代入すると、
$$y=3-3x$$
$$y=3-3×2$$
$$y=-3$$
となり、この連立方程式の解は
\begin{eqnarray}\left\{ \begin{array}{l}x=2\\y=-3\end{array}\right.\end{eqnarray}
であると分かりました。
まとめ
- 連立方程式で係数が1の変数がある式があったら代入法で解こう！
- 係数1の変数の関数にして、もう一方の式に代入すれば解ける！
加減法と比べると、簡単な計算過程で解くことができる代入法を使わない手はありません！前に数字のついていない\(x\)や\(y\)を見つけたら、「この問題は楽勝！」と思えるようになるまで、解く練習をしてみてください。
やってみよう
次の連立方程式の解を示してみよう。
- \begin{eqnarray}\left\{ \begin{array}{l}3x – 2y = 5 \ \ \ ①\\x + 4y = -3 \ \ \ \ \ ②\end{array}\right.\end{eqnarray}
- \begin{eqnarray}\left\{ \begin{array}{l}4x +y = 6 \ \ \ ①\\x + 2y = 5 \ \ \ \ \ ②\end{array}\right.\end{eqnarray}
こたえ
- ②式$$x+4y=-3$$より$$x=-3-4y$$これを①式に代入すると、$$3(-3-4y)-2y=5$$より$$-14y=14$$で、$$y=-1$$となる。これを②式に代入すると、$$x=-3-4×-1$$より$$x=1$$従って、\begin{eqnarray}\left\{ \begin{array}{l}x=1\\y=-1\end{array}\right.\end{eqnarray}
- ①式$$4x+y=6$$より$$y=6-4x$$これを②式に代入すると、$$x+2(6-4x)=5$$より$$-7x=-7$$で、$$x=1$$となる。これを①式に代入すると、$$y=6-4×1$$より$$y=2$$従って、\begin{eqnarray}\left\{ \begin{array}{l}x=1\\y=2\end{array}\right.\end{eqnarray}
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