三角比の基礎編|高校数学のつまずきやすい単元を徹底解説!

数学が苦手な人は中学、高校とも学年が上がっていくごとに増えていきますよね。特に中学から高校に上がって高校1年生から分からなくなってしまう人が多いですね。今回は高校1年生の数学の中でも三角比について書いていきたいと思います。三角比は数学はもちろん、物理などでも使うのでしっかりと押さえておきたいですよね。


あすなろには、毎日たくさんのお悩みやご質問が寄せられます。
この記事は数学の教科書に基づいて高校生のつまずきやすい単元の解説を行っています。

文部科学省 学習指導要領「生きる力」

http://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/new-cs/index.htm

三角比とは

三角比とは名前の通り三角形の比です。sin(サイン)、cos(コサイン)、tan(タンジェント)といった風に表されます。

上の直角三角形(辺の長さがa,b,c,左下の角度がθ)で表すと、

という式で表せます。これがすべての基本になります。これは必ず覚える必要があります。
この単元ではこのサイン、コサイン、タンジェントを使って図形の面積や角度などの値を求めていきます。

よく使う大事な公式

これらの公式も基本中の基本で重要な公式です。公式は計算してみると合っていることが分かります。

新しい公式が出てきたらその公式の証明を自分で説明できるようにしましょう。

よくある例題

上の公式を使った例題をいくつか紹介していきます。

例題(\(tanθ=\frac{sinθ}{cosθ}\)を使う)

0° < θ < 180° でtanθ=\(\frac{5}{12}\)の時sinθ、cosθを求めよ。

解答

tanθ=\(\frac{5}{12}\) から、三角形の3辺のうち、2辺は\(5a\)、\(12a\)と表せます。 (sin、cos、tanは比なので\(a\)をかけています)
そうすると三平方の定理から残りの1辺は\(13a\)と表せます。\(((5a)^{2}+(12a)^{2}=169a^{2}\)から)
三角形の3辺が分かったので後はtanθ=sinθ/cosθから
sinθ=\(\frac{5}{13}\), cosθ=\(\frac{12}{13}\)
と求められます。

例題(\(sin^{2}θ+cos^{2} θ=1\)を使う)

0° < θ < 180° でsinθ+cosθ=1/3の時、sinθcosθを求めよ。

解答

\(sin{\theta}cos{\theta}\)を求めるためにはまず\(sin\theta+cos\theta\) を2乗します。そうすると
\(sin^{2}{\theta}+2sin{\theta}cos{\theta}+cos^{2}{\theta}=\frac{1}{9}\)
となります。 \(sin^{2}θ+cos^{2} θ=1\)なので
\(1+2sin{\theta}cos{\theta}=\frac{1}{9}\)
\(sin{\theta}cos{\theta}=-\frac{4}{9}\)
と求められます。

例題(\(1+tan^{2}\theta=\frac{1}{cos^{2}\theta}\)を使う)

0° < θ < 90° で\(cos\theta=\frac{4}{5}\) の時、\(tan\theta\) 求めよ。

解答

\(1+tan^{2}\theta=\frac{1}{cos^{2}\theta}\)を使うだけで求めることができます。
\(tan^{2}\theta=\frac{1}{cos^{2}\theta}-1=\frac{1}{\frac{4^{2}}{5^{2}}}-1=\frac{25}{16}-1=\frac{9}{16}\)
0° < θ < 90°の時は\(tan\theta>0\)であるので
\(tan\theta=\frac{3}{4}\)

苦手克服法

よくある悩み

三角比が苦手な人でよくあるのが、公式は暗記したけど問題を前にするとどの公式を使ったらいいのかわからない、という人や、そもそもsin、cos、tanがどこか全然わからない、という人です。はじめの方は三角形を見せられても「ここがθだから…」となかなかパッとsin、cosが分からない人は結構いることでしょう。

そんなあなたは

公式を暗記したのに問題が解けない、授業ではわかったと思っていたのに問題が解けない、という人達はしっかりと内容が理解できていません。授業では先生が最初から最後まで説明してくれるので、聞いているだけで分かった気になってしまいがちです。それに公式を暗記するのも確かに大事ですが、大切なのはその公式への理解です。その公式がどうして成り立つのか、という「なぜそうなるのか」を中心にして勉強をしてみましょう。

三角比攻略法

やるべきことは公式の意味をしっかり理解して、問題がきたらどの公式を使えばいいかすぐにわかるようにしていくことです。公式の理解に有効なのが公式の証明です。授業で公式を習う時にどのようにしてその公式が成り立つのかを一度は説明されると思います。公式の証明をしっかりと自分で説明できるようになれば、公式について理解がちゃんとできているでしょう。ここでも、理解することが大切なので、公式の証明を暗記してもあまり意味はありません。公式を自分の言葉で説明できるようになりましょう。

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