【中3数学】平方根ってなんだろう?正方形を用いて、平方根の意味を解説します!

こんにちは、あすなろスタッフのカワイです。

今回は、平方根という新しい単元についてのお話です。今までの数学の中でまだ出てきていない内容なので、理解するのに時間がかかるかもしれませんが、そのような方でも分かるように解説していきます。


あすなろには、毎日たくさんのお悩みやご質問が寄せられます。
この記事は数学の教科書に基づいて中学校3年生のつまずきやすい単元の解説を行っています。

文部科学省 学習指導要領「生きる力」

http://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/new-cs/index.htm

平方根とは?

定義では、

「ある数\(x\)を2乗すると\(a\)となるとき、その\(x\)を\(a\)の平方根という」

とされています。

ただ、文章を読むだけでは正直よくわかりませんね。

平方根の考え方自体は既に今までにもやってきています。正方形の面積と辺の長さを用いた例を挙げていきますね。

ある正方形の面積\(a\)について考える

正方形の面積は「\(辺の長さ×辺の長さ=面積\)」すなわち、「\(辺の長さ^{2}=面積\)」で求めることが出来ます。

例えば、辺の長さが3の正方形の面積を考えたとき、その面積は、

$$3^{2}=9$$

と求めることができますね。

では、逆に面積が9の正方形の辺の長さはどれだけか、をどのように求めるかというと、

$$9=3^{2}$$

のように、前の操作の逆をしてあげればできるわけです。

これを一般化すると、ある正方形の面積\(x\)がわかっているとき、その正方形の辺の長さを\(a\)とすると、

$$x=a^{2}$$

と表すことが出来ます。

このように、ある数\(x\)があって、その数を\(a\)の2乗という値でなんとか表現したい時、この\(a\)のことを\(x\)の平方根といいます。

aの平方根は√aで、その2乗はaとなる図

面積が23の正方形の辺の長さを考えてみよう

では、今説明した考えを踏まえて、面積が23の正方形の辺の長さを考えていきましょう。

辺の長さを\(x\)とすると、式は、

$$23=x^{2}$$

と表すことができますね。

さて、この\(x\)に当てはまる数を考えてみます。

\(x\) \(x^{2}\)
\(3\) \(9\)
\(4\) \(16\)
\(5\) \(25\)
\(6\) \(36\)

まず、2乗すると\(23\)になりそうな整数を考えてみます。見た感じ、整数の2乗では\(23\)にはなりません。しかし、\(4^{2}\)は\(16\)、\(5^{2}\)は\(25\)なので、\(4\)と\(5\)の間に答えがありそうだ、ということは分かりますね。では少数の範囲に拡大して考えてみましょう。

\(x\) \(x^{2}\)
\(4.6\) \(21.16\)
\(4.7\) \(22.06\)
\(4.8\) \(23.04\)
\(4.9\) \(24.01\)

このようになりました。\(4.8\)を2乗した値が\(23\)にほど近いですが、ぴったりではないのでまだ駄目です。しかし、\(4.7\)と\(4.8\)の間に答えがあるはずです。

\(x\) \(x^{2}\)
\(4.78\) \(22.8484\)
\(4.79\) \(22.9441\)
\(4.80\) \(23.0400\)

結論を出すと、2乗して丁度\(23\)となる数は、少数の形で表すことが出来ません。ここで証明することはしませんが、少数の桁が無限に続いても無理です。

少数で表すことが出来ないのであれば、表すことは出来ないのか?というと、そういうわけではありません。

$$\sqrt{23}$$

と表すことで、示すことが出来ます。

この\(\sqrt{}\)を根号といい、「ルート」と言います。ある数字\(a\)に根号をつけると、「2乗すると\(a\)となる数」を表します。

正方形の辺の長さを√を用いて表した図(√23×√23=23)

話が逸れましたが、この答えは\(\sqrt{23}\)です。

平方根は2つある

最初に説明した話に少し戻してみます。ここまでの文脈でいくと、正方形の面積が9の辺の長さは、

$$\sqrt{9}$$

と表すことも出来ます。すなわち、

$$\sqrt{9}=3$$

と表現することが出来ます。

しかし、単なる数式として扱うならば、\(9\)の平方根はもう1つ存在します!

乗法では、\(負の数×負の数=正の数\)となります。

従って、\(-3\)も同様に\(9\)の平方根となります。

\(3\)と\(-3\)の共通点は「絶対値が等しい」というところにあります。従って、一つ平方根を見つけたら、同じ絶対値 かつ 異なる符号の値がもう一つの平方根になります。

よく忘れてしまいがちなので、注意してください!

まとめ

  • 平方根とは、ある数\(x\)を\(a\)の2乗で表現したいときの\(a\)のことをいう!
  • 平方根は絶対値が等しい正と負の2つが存在する。

やってみよう!

次の値の平方根を答えよ

  1. \(13\)
  2. \(5\)
  3. \(9\)

こたえ

  1. \(±\sqrt{13}\)
  2. \(±\sqrt{5}\)
  3. \(±\sqrt{9}\) または \(±3\)

最後までご覧いただきありがとうございました。
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