【中3数学】解の公式とその導き方を知って、2次方程式をマスターしよう!

こんにちは、家庭教師のあすなろスタッフのカワイです。

今回は、2次方程式を解く最強の公式である、解の公式を解説していきます!

「既に学校で勉強したから、公式は何となく見たことがあるけど、どうしてこれで解けているのか分からない」という人が結構いると思います。

なので、今回のこの記事では、どのようにその公式が導き出されているかということについて、詳しく解説していきたいと思います。


あすなろには、毎日たくさんのお悩みやご質問が寄せられます。

この記事は数学の教科書の採択を参考に中学校2年生のつまずきやすい単元の解説を行っています。

参照元:文部科学省 学習指導要領「生きる力」

解の公式とは?

解の公式は、\(ax^{2}+bx+c=0\)(\(a≠0\))のとき、

$$\LARGE x=\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$$

となります。これはどのような公式かというと、

$$2x^{2}+5x+3=0$$

という二次方程式があったときに、

上の\(ax^{2}+bx+c=0\)と照らし合わせて、

\(a=2,b=5,c=3\)

とします。これを解の公式にそのまま入れ込むと、

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4×2×3}}{2×2}$$

$$x=\frac{-5±1}{4}$$

となり、

\(x=-1,x=-\frac{3}{2}\)

となります。

解の公式さえ覚えれば、公式に値を入れ込むだけで解く事が出来るので、非常に簡単な方法です。

この公式によって、何故解くことが出来るのかについて、公式を証明することによって解決していきましょう。

文字が多く出てきますが、1つ1つゆっくり理解しながら進めていってくださいね。

公式の証明(極力分かりやすく)

問題に困っている男性のイラスト

では、一般的な2次方程式として、\(ax^{2}+bx+c=0\)(\(a≠0\))の式から進めていきます。

ここで、\(a≠0\)としているのは、

\(a=0\)のとき、上の式は\(bx+c=0\)となり、これはもはや2次方程式ではないからです。また、\(a=0\)では、割り算が出来ません。

では話に戻りましょう。

\(\LARGE ax^{2}+bx+c=0\)

の両辺を\(a\)で割ってみます。すると、

\(\LARGE x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\)

となります。全ての項を\(a\)で割った形になっていますね。

\(ax^{2}\)の部分は\(a\)で割ると、ただの\(x^{2}\)になります。

平方完成で\(x\)の次数を減らす

次が重要です。

\(x^{2}+\frac{b}{a}x\)の部分について考えてみましょう。

\(x\)の次数が異なるものがあると、これを\(x\)の形にするのは難しいです。

そこで\((x+α)^{2}\)という2乗の形にすることによって、実質の次数を減らそうという算段です。(\(α\)は場合によって変わる値です)

上の\((x+α)^{2}\)を展開すると、\(x^2+2αx+α^2\)となります。

\(α\)の部分を今回解いている\(x^2+\frac{b}{a}x\)に当てはめてみると、\(2αx\)の部分が\(\frac{b}{a}x\)となれば、\((x+〇)\)の形にすることができそうです。

\(2αx=\frac{b}{a}x\)

より

\(α\)は\(\frac{b}{2a}\)となります。

従って、\((x+\frac{b}{2a})^{2}\)となるのですが、これでは不完全です。

なぜなら、これを展開すると、

\(x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{b^{2}}{4a^{2}}\)となりますが、

\(\frac{b^{2}}{4a^{2}}\)の部分が、元々の方程式になかった部分でした。

ただ、\((x+α)^{2}\)の形を作りたかったら、必ずついてきてしまいます。さて、どうしたらいいでしょうか。

答えは単純です。その値を打ち消せるような値を入れてあげればいいのです。

従って、\(x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}\)

とすると、\((x+\frac{b}{2a})^{2}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}\)となります。

これはあくまで、\(x^{2}+\frac{b}{a}x\)の部分のお話なので、方程式全体の式に戻してあげると、

\(\LARGE (x+\frac{b}{2a})^{2}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}+\frac{c}{a}=0\)

となります。

ax^2+bx+c=0の式を平方完成して、解の公式を導出する途中式を示した図

簡単にまとめると、上のようになります。

このような一連の処理を平方完成といいます。平方完成は非常に重要な式変形の手法なので、慣れていくのが重要です。

別記事でも紹介しているので、よろしければそちらを読んでみてください。

参考記事:【中3数学】平方完成を用いた2次方程式のやり方(解き方)について解説します!

成功を祝福する男の子のイラスト

さて、式展開の山場は超えました。

\((x+\frac{b}{2a})^{2}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}+\frac{c}{a}=0\)

の変数を含まない項を右辺に移項すると、

\(\LARGE (x+\frac{b}{2a})^{2}=\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{c}{a}\)

とできますね。この右辺ですが、分母を\(4a^{2}\)に揃えて項をまとめると、

\(\LARGE (x+\frac{b}{2a})^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}\)

となります。

さて、この形に見覚えはありませんか?

これは、

\((x+α)^{2}=β\)

という式があった時に、

\(x+α=±\sqrt{β}\)

という形にすることが出来ます。

今の式の形を見てみると、これも両辺に平方根を取ることができるとわかります。従って、

\(\LARGE x+\frac{b}{2a}=±\sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\)

となります。

後は、左辺を\(x\)の形にするために、\(\frac{b}{2a}\)を右辺に移動すればいいので、

\(\LARGE x=-\frac{b}{2a} ±\sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\)

となり、\(x\)の形にすることができました!

最後に、一番最初に紹介した形にするためには、右辺の\(4a^{2}\)の部分をルートを外した形にして、右辺を1つの項にまとめてあげると、

$$\LARGE x=\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$$

という式の完成です。

このように、解の公式というのは、

\(ax^{2}+bx+c=0\)という式変形からできています。この式の形は2次方程式を殆ど表すことができるので、この式一つで2次方程式の解を知ることが出来るのです。

まとめ

今回は、2次方程式の解の公式の導き方について紹介しました。

他の解き方もありますが、すべての問題に対して手早く解く方法はこれだけです。

極端に言えば、この解の公式を覚えさえすれば、2次方程式の解を確実に解くことが出来ます!

※個人的には、解の公式を覚えるよりも、解の公式の導き方を理解する方に時間を使うことをお勧めします!何故なら、解の公式自体をふと忘れてしまったときに、解の公式を自分で作ることが出来るからです!

今回解説した式変形を、何も見ずに何回か解くことが出来れば、すんなり覚えられます。

”ホントかな…?”と疑う考えがもしあるようでしたら、是非やってみてください!


最後までご覧いただきありがとうございました。
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