【中1数学】負の数を含む割り算が分からない方必見!考え方・計算の仕方を解説します!

こんにちは、あすなろスタッフのカワイです。

今回は基本的な計算方法である「割り算」の仕方について、正の数だけでなく負の数も範囲に入れた計算方法について解説していきます!

もし正負を含む乗法の計算について不安がある方は、乗法を復習してから読み進めてみて下さい!

負の数を含む乗法(掛け算)の復習はこちら↓

【中1数学】負の数を含む掛け算が分からない方必見!考え方と計算方法を解説!

それでは、今回も頑張っていきましょう!


あすなろには、毎日たくさんのお悩みやご質問が寄せられます。
この記事は数学の教科書の採択を参考に中学校1年生のつまずきやすい単元の解説を行っています。

参照元:文部科学省 学習指導要領「生きる力」

新しい用語「除法」「商」を導入!

小学校で「割り算」と呼んでいたものについては、中学校から「除法」という言葉を使います。そして、割り算の答え、すなわち、除法の答えは「商」という言葉を使います。これ以降よく出てくるし使う言葉になるので、しっかり覚えてくださいね!

負を含む除法はどう考えればいい…?

小学校でやってきた正の数だけの割り算と、これからの負の数の範囲を含めた割り算はどう違うのか、二つを比較しながら考えていきたいと思います。

正の数だけの割り算から考えてみる

小学校でやってきた割り算はどのように考えて解いていたか、復習しながら考えてみましょう。

例えば、

\(8÷2\)

という問題が出た時、私たちはどのように考えて解いているかというと、ほとんどの人は、

【\(8\)を\(2\)つに分ける】ですね。

この考え方は正解です。\(8\)を\(2\)つに分けたら\(4\)になります。正しい答えですね。

一方で、割り算というのは、

【\(2\)にある数「\(□\)」を掛けると\(8\)になる、という「\(□\)」を求める】

といった考え方をすることも出来るのです(実はこちらが正しい定義だったりします)。

この考え方でいくと、\(2×□=8\)と書くことが出来て、この\(□\)に\(4\)を入れたらこの式を成り立たせることが出来ます。

では、\(2÷5\)はどのように計算していたでしょうか。

考え方は上でやった通りで問題ないですね。

\(2\)を\(5\)つに分けるという考え方では、\(\frac{2}{5}\)となります。

\(5\)にある数を掛けると\(2\)になるという考え方では、\(5×□=2\)より、\(□=\frac{2}{5}\)

となり、一つ目の考え方と同じ答えになりますね。

負の数を含んだ割り算では…?

負の数を含んだ割り算では、後者の

【〇にある数を掛けると△になる\(□\)】

の考え方で解くことが出来ます。

どうしてかというと、1つ目の考え方は「元々のものを分ける」というように、(ピザやケーキなど)をベースにしたような考え方になりがちだからです。

負の数を含めると「\(-1\)枚のピザを分ける」という風に考えなければいけないので、現実味が無いですよね。

一方で、もう一つの考え方は乗法がベースになっているので、負の数が来てもへっちゃらです!

さて、具体的にどのように解いていくのか、例を挙げながら解説していきたいと思います!

負の数を含む除法の具体例

小学校の時の割り算と比較しやすい様に、\(8÷4\)をベースに3つの例題を解いてみましょう。

例1.\(-8÷4\)

割り算(いらすとや)

負の数を正の数で分ける…と考えるのは今のところ難しいので、乗法ベースの考え方にしてみましょう。すなわち、【4に□を掛けると-8になる】という計算式に書き換えます。すると、

\(4×□=-8\)

となります。乗法より、\(□\)に入る値は\(-2\)です。従って、

\(-8÷4=-2\)

となります。

これを\(8÷4=2\)という式と比較してみると、絶対値は同じで、商の符号だけ違うということが分かります。このことから、計算中の符号が変わっても、その絶対値は変わらないということが分かりますね。

例2.\(8÷(-4)\)

今度は負の符号の付く場所が\(8\)から\(4\)に変わりました。これをまた乗法の形に直して考えると、

\(-4×□=8\)

となります。\(□\)に入る値は\(-2\)となるので、

\(8÷(-4)=-2\)

となります。

例3.\((-8)÷(-4)\)

最後は、\(8\)にも\(4\)にも負の符号が付いています。これも例1.例2.と同じように解いていきましょう。

乗法の形に直すと、

\((-4)×□=(-8)\)

となります。\(□\)に入る値は\(2\)となるので、

\((-8)÷(-4)=2\)

となります。

 

例1.例2.と同様に、商の絶対値は2となりました。一方で、例1.例2.の商は負でしたが、今回の商は正となっています。

これはどうして…?と考えたときに、積の符号と式中の符号の関係を思い出してみてください。

  • 負の数が奇数個あれば、積はとなる。
  • 負の数が偶数個あれば、積はとなる。

というものがありましたね。これより、「乗法の形にしたときに”式”と”答え”の符号が異なる」例1.と例2.の商はに、「”式”と”答え”の符号が等しい」例3.の商はとなったのです。

ここでいう”式”と”答え”というのは、除法でいう”〇÷△”の部分に他なりません。

ということは、最初の式を見た段階で、商の符号が分かるということです。

 

一旦頭を整理しましょう。

ちょっと回りくどい説明になってしまったのでまとめると、

2つの数の商を求めるとき

  • 2つの数が同符号の場合(正の数÷正の数 もしくは 負の数÷負の数)は商は正の数
  • 2つの数が異符号の場合(正の数÷負の数 もしくは 負の数÷正の数)は商は負の数

となります。このときの絶対値は、小学校の時の割り算と変わりません。

最後に、もう1問例題を見ていきましょう。

例4.\(2÷(-5)\)

さて、上でまとめたように、2つの数が同符号か異符号か見てみます。この場合、\(2\)は正の数で\(-5\)は負の数なので、異符号の場合を考えればいいということになります。なので、商の符号は負となります。

商の絶対値については\(2÷5\)と変わらないので、計算すると絶対値は\(\frac{2}{5}\)となります。

商の符号は負なので、

\(2÷(-5)=-\frac{2}{5}\)

となります。

まとめ

大切な事なので、負の数を含むときの商についてまとめたものを、もう一度載せますね。

2つの数の商を求めるときは

  • 2つの数が同符号の場合(正の数÷正の数 もしくは 負の数÷負の数)は商は正の数
  • 2つの数が異符号の場合(正の数÷負の数 もしくは 負の数÷正の数)は商は負の

商の絶対値については、式中の符号がすべて正である小学校の時の割り算と変わりません!

従って、小学校の割り算さえ解けるのであれば、後は商の符号に注意するだけということになります。

何故除法に負の数を含んだものも計算できるの?ということについては、「除法は乗法がベースになっているから」ということが私が考える回答です。

もし、まだ物をベースに掛け算や割り算を考えている人がいたら、”それは正の数しかない世界でしか通用しない”と割り切らないと、中々理解するのが難しいと思います。

乗法の解説ページでは位置時間の関係から負の数について考える方法を紹介していますので、よろしければ参考にしてみて下さい!

やってみよう!

次の計算をしてみよう。

  1. \(12÷(-3)\)
  2. \(-4÷4\)
  3. \((-72)÷(-8)\)
  4. \(36÷(-6)\)
  5. \((-5)÷(-8)\)
  6. \((-11)÷13)\)

こたえ

  1. \(-4\)
  2. \(-1\)
  3. \(9\)
  4. \(-6\)
  5. \(\frac{5}{8}\)
  6. \(-\frac{11}{13}\)

最後までご覧いただきありがとうございました。
「数学でわからないところがある」そんな時に役立つのが、勉強お役立ち情報!
数学の単元のポイントや勉強のコツをご紹介しています。
ぜひ参考にして、テストの点数アップに役立ててみてくださいね。

もし上記の問題で、わからないところがあればお気軽にお問い合わせください。少しでもお役に立てれば幸いです。

関連記事があります

【中3数学】平方根の練習問題にチャレンジ!(解説あり)
【中2数学】点の座標(グラフ)が分かっている時、一次関数の式はどのように解けばいいのか解説します!
【中3数学】平方根ってなんだろう?正方形を用いて、平方根の意味を解説します!
【中3数学】y=ax^2の値の変化が分からない方必見!グラフを使って解説します!
【中1英語】 自分のすることを説明する「play」「like」

目からウロコの体験授業が無料で0円 先生と生徒たちの楽しそうな写真 たった15分でだれでも楽しみながら、大きく点数アップ↑できる勉強法を教えます!お申し込みはとってもカンタン!無料の体験授業に申し込む

もし、他のところと迷われたら…一番にお電話ください。
あすなろでは、家庭教師が初めての方に安心していただけるよう、質問や疑問に丁寧にお答えします。無理な勧誘は一切無いことをお約束いたします。

新型コロナウイルスへの対応についてはこちら

無料の体験授業

昨年(2018年)は1,602人が体験授業で実感!
わかる」喜びと「できる」自信が持てる無料の体験授業実施中!

私たちは、一人でも多くのお子さんに「勉強のおもしろさ」を知ってほしい。そんな想いで無料の体験授業を実施しています。私たちは、一人ひとりのお子さんの目線に立って、得意・苦手な分野に合わせて、勉強のやり方を提案します。この体験授業がお子さんの勉強の悩みを解消するキッカケになれば嬉しいです。

無料の体験授業で、「たった15分の勉強で、今までの3倍の効果を出せる勉強方法」を無料体験で実感してみませんか?勉強が苦手な子ほど、ほんの少しのキッカケで必ず変えてみせます!

フリーコール0120-32-4152 午前9時~午後10時土日祝も受付しております

あすなろのお約束

  • 学校の授業・教科書を中心に、苦手科目に合わせて5教科指導しています。
  • 国公立大学を中心に、「お子さんの成績アップを手伝いたい!」とやる気と熱意溢れる家庭教師をご紹介します。万一、相性が合わない場合無料で何度でも交代ができます。
  • お子さんの習熟度に合わせて、成績アップと第一志望合格を目指して指導を行ないます。
  • 私たちが目指すのは、「あすなろでやってよかった!」と実感していただくことです。
あすなろまるわかりBOOKを資料請求する
無料の体験授業に申し込む
受験勉強が100倍楽しくなる本を資料請求する
発達障害・不登校のお子さんのためのサポートブックを資料請求する