【中3数学】多項式の練習問題にチャレンジ！(解説あり)

こんにちは、あすなろスタッフのカワイです。

今回は多項式の問題演習です。

全部解くことが出来たら、この単元を十分理解していると言っても過言ではありません！

もし出来ない問題があっても、分からない問題について復習できるページを紹介していますので、

一度力試しと思って解いてみてください！

では、今回も頑張っていきましょう！

文部科学省　学習指導要領「生きる力」

http://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/new-cs/index.htm

問題演習

問題のレベルは1～3まであります。

• レベル1は基本問題です。次の単元の理解の為にも最低限出来ておきたい内容になります。
• レベル2は応用問題です。これが出来れば、この単元を7～8割理解したと言えるでしょう。
• レベル3は発展問題です。これが出来れば、9割以上の理解があると言えます！もっと難しい問題にも挑戦できると思います。

では、レベル1から順に解いてみましょう！

レベル1(基本問題)

1. 次の計算をしてみよう。
   1. \(3x(2x+4y)\)
   2. \(4a(a-2b)\)
2. 次の式を展開してみよう。
   1. \((x+2)(x-3)\)
   2. \((a-5)(a+2)\)
3. 次の式を因数分解してみよう。
   1. \(xy+4y\)
   2. \(3xy^{2}-2x^{2}y\)

レベル2(応用問題)

1. 次の計算をしてみよう。
   1. \((12x-6y+3)÷(-\frac{3}{2})\)
2. 次の式を展開してみよう。
   1. \((2a-5b)^{2}\)
   2. \((x+y-1)(x+y+1)\)
3. 次の式を因数分解してみよう。
   1. \(x^{2}+7x+12\)
   2. \(9a^{2}-4b^{2}\)

レベル3(これができれば完璧)

1. 次の計算をしてみよう。
   1. \((2x^{2}y-4xy^{2})÷(\frac{2}{5}xy)\)
   2. \((a-2)(a+3)+(a+4)(a-5)\)
   3. \((x+1)(x+4)-(x+3)^{2}\)
2. 次の式を因数分解してみよう。
   1. \(x^{2}y^{2}+4xy+3\)
   2. \((a+b)^{2}-4(a+b)-21\)
   3. \(x^{2}-4xy+4y^{2}\)

解答

レベル1

1. 次の計算をしてみよう。
   1. \(3x(2x+4y)=6x^{2}+12xy\)
      【解説】分配法則より、\(2x\)と\(4y\)に対してそれぞれ\(3x\)を掛けてあげれば解けます。
   2. \(4a(a-2b)=4a^{2}-8ab\)
      【解説】1.と同様に\(a\)と\(-2b\)に\(4a\)を掛けて、最後に足してあげれば解けます。

多項式同士のかけ算がわからない方は、こちらのページを見てみてください！

→【中3数学】多項式同士の掛け算のやり方を解説します！

1. 次の式を展開してみよう。
   1. \((x+2)(x-3)=x^{2}-3x+2x-6=x^{2}-x-6\)
      【解説】分配法則を用いて、\(x(x-3)\)と\(2(x-3)\)と考えると、上の問題と同様にして解けますね。乗法公式を用いることで、簡単に解けます。
   2. \((a-5)(a+2)=a^{2}-3a-10\)
      【解説】1.と同様にそれぞれ分けてあげると解けます。

多項式の積の展開がわからない方は、こちらのページを見てみてください！

→【中3数学】多項式を展開するときの4つの便利な公式を覚えよう！

1. 次の式を因数分解してみよう。 　　　　　
   1. \(xy+4y=(x+4)y\)
      【解説】2つの項に共通して入っているのは\(y\)なので、括ってあげると\((x+4)y\)となります。答えを展開してみると、ちゃんと元の問題の式になるので確認してみてください。
   2. \(3xy^{2}-2x^{2}y=xy(3y-2x)\)
      【解説】2つの項に共通して入っているのは\(xy\)になります。\(3xy^{2}\)から\(xy\)を追い出すと\(3y×xy\)となり、\(-2x^{2}y\)から\(xy\)を追い出すと\(-2x×xy\)となります。したがって、\(xy\)で括ってあげると\(xy(3y-2x)\)となります。

因数分解についてわからない方は、こちらのページを見てみてください！→

【中3数学】多項式を式の積の形にする「因数分解」のやり方を解説します！(その1)

【中3数学】多項式を式の積の形にする「因数分解」のやり方を解説します！(その2)

レベル2

1. 次の計算をしてみよう。
   1. \((12x-6y+3)÷(-\frac{3}{2})=-8x+4y-2\)
      【解説】÷(分数)の形はあまり嬉しくないので、逆数を取って×の形にすると、\((12x-6y+3)×(-\frac{2}{3})\)となります。それぞれを分配法則で解いていくと、答えになります。
2. 次の式を展開してみよう。
   1. \((2a-5b)^{2}=4a^{2}-10ab-10ab+25b^{2}=4a^{2}-20ab+25b^{2}\)
      【解説】()()の形にすると、\((2a-5b)(2a-5b)\)となります。レベル1の2-3.2-4.のように分配していくと解くことができます。
   2. \((x+y-1)(x+y+1)=x^{2}+xy+x+xy+y^{2}+y-x-y-1\)
      \(=x^{2}+2xy+y^{2}-1\)
      【解説】()の中の項が2つでも3つでも、分配法則は同じです。(3つの項)×(3つの項)のときは、全部で3×3=9個の計算が出てくればOK、あとは整理することで答えの形になります。
      【解説＋α】9個も計算するのは面倒という人は、\(x+y=X\)とおくと、賢くてかつ簡単です！\((X-1)(X+1)=X^{2}-1\)というあっさりとした形になるので、\(X\)を元に戻して計算してみればすぐ解けます。
3. 次の式を因数分解してみよう。
   1. \(x^{2}+7x+12=(x+3)(x+4)\)
      【解説】因数分解の公式を使うと一発で解けます。(\(x^{2}+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\))という公式にあてはまる\(a\)と\(b\)の組み合わせは\(3\)、\(4\)となります。
   2. \(9a^{2}-4b^{2}=(3a-2b)(3a+2b)\)
      【解説】これも因数分解の公式が分かれば解けると思います。式変形をしてみると、\(9a^{2}\)は\((3a)^{2}\)、\(4b^{2}\)は\((2b)^{2}\)となり、\((3a)^{2}-(2b)^{2}\)となります。\(3a\)を\(X\)、\(2b\)を\(A\)とおくと公式の通り解けると思います。

レベル3

1. 次の計算をしてみよう。
   1. \((2x^{2}y-4xy^{2})÷(\frac{2}{5}xy)=(2x^{2}y-4xy^{2})×\frac{5}{2xy}=5x-10y\)
      【解説】÷(分数)の形はあまり嬉しくないので、逆数を取って×の形にすると解きやすいでしょう。その際に\(xy\)が分子から分母に移ることに注意しましょう！
   2. \((a-2)(a+3)+(a+4)(a-5)=2a^{2}-26\)
      【解説】全て展開すると、いくつかの項がまとめられます。まとめていくと、\(a\)の項は\(±0\)となり消去されます。
   3. \((x+1)(x+4)-(x+3)^{2}=-x-5\)
      【解説】2.と同様に、展開してまとめていくと、\(x^{2}\)の項は消去されます。
2. 次の式を因数分解してみよう。
   1. \(x^{2}y^{2}+4xy+3=(xy+3)(xy+1)\)
      【解説】\(xy=X\)とおくと、因数分解の公式で解けますね。
   2. \((a+b)^{2}-4(a+b)-21=(a+b-7)(a+b+3)\)
      【解説】1.と同様に、\(a+b=X\)とおくと、因数分解の公式で解けますね。
   3. \(x^{2}-4xy+4y^{2}=(x-2y)^{2}\)
      【解説】\(2y=A\)などとおくと、\(x^{2}-2Ax+A^{2}\)という形となります。

いかがでしたか。レベル3の問題まで解けなくても乗法公式や因数分解の公式を勉強してもう一度トライしてみればきっと解けますから、やってみてくださいね！

多項式の内容は高校入試でも必須の知識となるので、早めに苦手を発見して勉強することはあなたの強みになります！

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