【中3数学】y=ax^2のグラフってどんな形になるの？いくつかの特徴について解説！

こんにちは、家庭教師のあすなろスタッフのカワイです。

今回は、\(y=ax^{2}\)という式がどのようなグラフとなるのか、またグラフからどのようなことが読み取れるかについて解説していきたいと思います！

「そもそも、\(y=ax^{2}\)って何…？」という方もいると思いますので、そういった方でも読み進められるようにしていますので、良かったら最後まで読んでみてもらえたらと思います！

では、今回も頑張っていきましょう！

あすなろには、毎日たくさんのお悩みやご質問が寄せられます。
この記事は数学の教科書の採択を参考に中学校3年生のつまずきやすい単元の解説を行っています。

参照元：文部科学省　学習指導要領「生きる力」

=もくじ=

【復習】\(y=ax^{2}\)とは？

\(y=ax^{2}\)とは、\(y\)が\(x\)の2乗に比例する関数です。

今まで勉強してきた\(y=ax\)では、\(x\)の値が1つ増えた時の\(y\)の増える量は一定でしたが、\(y=ax^{2}\)という式になると、\(x\)がどの値の時に1増えるかによって、\(y\)の増える量が変わるという特徴があります。

例えば、斜面を転がるボールの位置・時間を推測することが出来たりします。他にも様々な所で使われている関数です。

\(y=x^{2}\)は、\(y\)が\(x\)の2乗に比例するグラフの中でも最も単純な式ですね。ですから、まずこの\(y=x^{2}\)という式のグラフの形から考えていこうと思います。

まず、\(x\)が\(3\)〜\(-3\)の範囲で考えてみましょう。これを\(1\)ずつ変えて\(y=x^{2}\)の式に代入すると、

\(x\)	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(y\)	\(9\)	\(4\)	\(1\)	\(0\)	\(1\)	\(4\)	\(9\)

となります。

さて、これをグラフに落とし込むとどのようになるか考えてみると、

上のようになります。線をつないでみると、

このような形が見えてきます。\(x\)が\(-1\)→\(1\)になるあたりまでは形が角ばっているようで、そこから先は滑らかに上がっていくといった関数となっています。

また、表からもわかったことではありますが、原点を通り、\(x=0\)を中心として鏡写しになったように点が来ていることが分かります。

しかし、\(x\)の値が1変わるだけで、グラフの進行方向がこのような急激な変化になるとは考えにくいのです。\(x\)の値が大きくなるにつれて変化量が変わってくるならば、0や1の間の、例えば0→0.5なんかは0→1よりも緩やかな増加でなくてはおかしいと思うのです。

実際、このように少しの点だけを適当な線を繋いだグラフというのは、比例グラフとは違い、正確ではないです！

上の反省を生かして、今度は\(x\)が\(-1\)から\(1\)の範囲で\(-1\)ごとに細かく取っていこうと思います。すると、

\(x\)	\(-1\)	\(-0.9\)	\(-0.8\)	\(-0.7\)	\(-0.6\)	\(-0.5\)	\(-0.4\)	\(-0.3\)	\(-0.2\)	\(-0.1\)
\(y\)	\(1\)	\(0.81\)	\(0.64\)	\(0.49\)	\(0.36\)	\(0.25\)	\(0.16\)	\(0.09\)	\(0.04\)	\(0.01\)

\(0\)	\(0.1\)	\(0.2\)	\(0.3\)	\(0.4\)	\(0.5\)	\(0.6\)	\(0.7\)	\(0.8\)	\(0.9\)	\(1\)
\(0\)	\(0.01\)	\(0.04\)	\(0.09\)	\(0.16\)	\(0.25\)	\(0.36\)	\(0.49\)	\(0.64\)	\(0.81\)	\(1\)