【中3数学】二次方程式の練習問題にチャレンジ！(解説あり)

こんにちは、あすなろスタッフのカワイです。

今回は2次方程式の問題演習です。

全部解くことが出来たら、この単元を十分理解していると言っても過言ではありません！

では、今回も頑張っていきましょう！

あすなろには、毎日たくさんのお悩みやご質問が寄せられます。この記事は数学の教科書の採択を参考に中学校3年生のつまずきやすい単元の解説を行っています。

参照元：文部科学省　学習指導要領「生きる力」

=もくじ=

1 問題演習
2 解答
3 まとめ

問題演習

早速問題を解いていきましょう。まず答えは見ずに頑張ってみて下さいね。

問題は単元ごとにまとめていますので、もし多く間違える単元があれば、この機会に復習してみて下さい。出来る問題をやるより、間違えた問題を勉強する方が勉強の効果はずっと大きくなりますからね！

問題の下部分に、それぞれの単元について勉強出来るページへのリンクを紹介しているので、良かったら読んでみて下さい。

【平方根】次の方程式を解いてみよう。

\(x^{2}-36=0\)
\((x-2)^{2}=16\)
\(3x^{2}-30=0\)
\(9x^{2}=3\)

【平方完成】次の方程式を解いてみよう。

\(x^{2}+6x-3=0\)
\(x^{2}-4x+1=0\)
\(x^{2}+8x+5\)
\(x^{2}-10x+10\)

【解の公式】次の方程式を解いてみよう。

\(3x^{2}+6x+2=0\)
\(2x^{2}-5x+2=0\)
\(8x^{2}-10x+3=0\)
\(4x^{2}-6x+1=0\)

【因数分解】次の方程式を解いてみよう。

\((x-2)(x+3)=0\)
\((2x+3)(3x-1)=0\)
\(x^{2}-5x+4=0\)
\(x^{2}+8x+16=0\)

解答

【平方根】次の方程式を解いてみよう。

\(x=6,-6\)
【解説】\(-36\)を移項すると\(x^{2}=36\)となる。\(36\)は\(6×6\)と表せるので、\(x=6\)。負の場合も考える。
\(x=-2,6\)
【解説】\(x-2\)を一旦考えず、2乗すると\(16\)となる数を考える。その数は\(4\)と\(-4\)である。ということは、\(x-2=4\)もしくは\(x-2=-4\)となる\(x\)を求めればいい
\(x=\sqrt{10},-\sqrt{10}\)
【解説】まず\(-30\)を右辺へ移項すると、\(3x^{2}=30\)となる。次に、\(x^{2}\)の係数を\(1\)とするために、両辺を\(3\)で割ると、\(x^{2}=10\)となる。2乗すると\(10\)となる数は\(\sqrt{10}\),\(-\sqrt{10}\)となる。
\(x=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
【解説】\(x^{2}\)の係数を\(1\)とするために、両辺を\(9\)で割ると、\(x^{2}=\frac{1}{3}\)となる。従って、2乗して\(\frac{1}{3}\)となる\(x\)を求めればいい。

平方根による2次方程式の解き方について復習したい方はこちら

【平方完成】次の方程式を解いてみよう。

\(x=-3±2\sqrt{3}\)
【解説】\(x^{2}+6x-3=0\)の\(-3\)を移項すると、\(x^{2}+6x=3\)となる。左辺を平方の形とするために、両辺に9を足すと、\(x^{2}+6x+9=12\)となる。平方の形にすると\((x+3)^{2}=12\)となり、平方根をとると、\(x+3=±\sqrt{12}=±3\sqrt{2}\)となる。従って、\(x=-3±2\sqrt{3}\)となる。
\(x=2±\sqrt{3}\)
【解説】\(x^{2}-4x+1=0\)の\(1\)を移項すると、\(x^{2}-4x=-1\)となる。左辺を平方の形とするために、両辺に4を足すと、\(x^{2}-4x+4=3\)となる。平方の形にすると\((x-2)^{2}=3\)となり、平方根をとると、\(x-2=±\sqrt{3}\)となる。従って、\(x=2±\sqrt{3}\)となる。
\(x=-4±\sqrt{11}\)
【解説】\(x^{2}+8x+5=0\)の\(5\)を移項すると、\(x^{2}+8x=-5\)となる。左辺を平方の形とするために、両辺に16を足すと、\(x^{2}+8x+16=11\)となる。平方の形にすると\((x+4)^{2}=11\)となり、平方根をとると、\(x+4=±\sqrt{11}\)となる。従って、\(x=-4±\sqrt{11}\)となる。
\(x=5±\sqrt{15}\)
【解説】\(x^{2}-10x+10=0\)の\(1\)を移項すると、\(x^{2}-10x=-10\)となる。左辺を平方の形とするために、両辺に25を足すと、\(x^{2}-10x+25=15\)となる。平方の形にすると\((x-5)^{2}=15\)となり、平方根をとると、\(x-5=±\sqrt{15}\)となる。従って、\(x=5±\sqrt{15}\)となる。

平方完成による2次方程式の解き方について復習したい方はこちら

【解の公式】次の方程式を解いてみよう。

\(x=\frac{-3±\sqrt{3}}{3}\)
【解説】解の公式「\(x=\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)」を用いて考える。元の式と\(ax^{2}+bx+c=0\)を比較することで、\(a=3\)、\(b=6\)、\(c=2\)とすることが出来る。これを解の公式に代入すると、\(x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4×3×2}}{2×3}\)となり、これを解くと上記の解になる。
\(x=2,\frac{1}{2}\)
【解説】解の公式「\(x=\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)」を用いて考える。元の式と\(ax^{2}+bx+c=0\)を比較することで、\(a=2\)、\(b=-5\)、\(c=2\)とすることが出来る。これを解の公式に代入すると、\(x=\frac{5±\sqrt{(-5)^{2}-4×2×2}}{2×2}\)となり、これを解くと\(x=\frac{5±3}{4}\)となる。従って、解は\(x=2,\frac{1}{2}\)である。
\(x=\frac{3}{4},\frac{1}{2}\)
【解説】解の公式「\(x=\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)」を用いて考える。元の式と\(ax^{2}+bx+c=0\)を比較することで、\(a=8\)、\(b=-10\)、\(c=3\)とすることが出来る。これを解の公式に代入すると、\(x=\frac{10±\sqrt{(-10)^{2}-4×8×3}}{2×8}\)となり、これを解くと\(x=\frac{10±2}{16}\)となる。従って、解は\(x=\frac{3}{4},\frac{1}{2}\)である。
\(x=\frac{3±\sqrt{5}}{4}\)
【解説】解の公式「\(x=\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)」を用いて考える。元の式と\(ax^{2}+bx+c=0\)を比較することで、\(a=4\)、\(b=-6\)、\(c=1\)とすることが出来る。これを解の公式に代入すると、\(x=\frac{6±\sqrt{(-6)^{2}-4×4×1}}{2×4}\)となり、これを解くと上記の解になる。

解の公式による2次方程式の解き方について復習したい方はこちら

【因数分解】次の方程式を解いてみよう。

\(x=2,-3\)
【解説】\(()()=0\)となっている式を成立させるには、片方の()が\(0\)となればいい。\((x-2)(x+3)=0\)では、\(x-2=0\)もしくは\(x+3=0\)となればいいので、\(x=2\)、\(x=-3\)が解となる。
\(x=-\frac{3}{2},\frac{1}{3}\)
【解説】\(()()=0\)となっている式を成立させるには、片方の()が\(0\)となればいい。\((2x+3)(3x-1)=0\)では、\(2x+3=0\)もしくは\(3x-1=0\)となればいいので、\(x=-\frac{3}{2}\)\(\frac{1}{3}\)が解となる。
\(x=1,4\)
【解説】解の公式でも解けるが、ここでは因数分解を用いた解説とする。元の式を因数分解すると\((x+a)(x+b)=0\)となると考えたとき、これを展開した\(x^{2}+(a+b)x+ab=0\)と比較することで\(a\)と\(b\)の値を判別できる。\(a+b=-5\)、\(ab=4\)より、これに当てはまる\(a,b\)を計算すると、\(a=-1\)\(b=-4\)である。従って、元の式を因数分解すると、\((x-1)(x-4)=0\)となり、解は\(x=1,x=4\)となる。
\(x=-4\)
【解説】\(x\)の項を半分にした値の2乗は\(16\)となる。従って、この式は\((x+4)^{2}=0\)となり、解は\(x=-4\)となる。

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