実数(数と式)｜高校数学のつまずきやすい単元を徹底解説！

数学苦手ではないですか？高校の学年が上がれば上がるほど、数学が苦手なお子さんは増えていきますよね。

その原因は、一度つまづいて苦手意識を持ってしまうと克服しづらく、結果的に苦手意識を持ったお子さんが減らないからです。

したがって、一度もつまづかないことが大切となってきます。「わからないな」と思ったその瞬間に対策すれば、苦手にはなりにくいです。

そこで、高校1年生の数学でつまづきやすい「実数」について書いていきたいと思います。

この単元は公式の暗記ではなく、理解して考えて解く必要があるので、しっかり理解しましょう。

あすなろには、毎日たくさんのお悩みやご質問が寄せられます。
この記事は数学の教科書に基づいて高校生のつまずきやすい単元の解説を行っています。

文部科学省　学習指導要領「生きる力」
http://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/new-cs/index.htm

=もくじ=

1 実数とは？
- 1.1 有理数と無理数
- 1.2 有理数の中でさらに分類
2 よくある例題
3 苦手克服法
- 3.1 よくある悩み
- 3.2 そんなあなたは
4 実数という単元

実数とは？

実数とは、簡単に言えば、「有理数と無理数を合わせた数」のことです。私たちが普段使っている数字はほぼ全て実数です。

逆に、実数でない数は虚数といい、普段目にはしません。なので、この単元は「実数」という誰もが使っているものについての単元です。

有理数と無理数

実数は大きく分類すると、有理数と無理数に分けることができます。

有理数と無理数の違いは、分数で表せるかどうかです。
分数で表すことができる数は有限小数で有理数に含まれます。一方、平方根や円周率のπなどの循環しない無限小数が無理数です。

有理数の中でさらに分類

実数から有理数、無理数に大きく分けることができると説明しましたが、有理数はさらに分類することができます。

有理数は整数、有限小数、循環小数とさらに細かく分けられます。

整数

整数とは、有理数の中で小数点以下がゼロの数のことです。例を挙げると\(-5、0、17\)などが整数です。これらは\(-\frac{5}{1}、\frac{0}{1}、\frac{17}{1}\)と表せるので有理数です。また、1以上の整数を自然数といいます。（０は整数ですが自然数ではありません。）

有限小数

有限小数とは、小数点以下できちんと終わる小数のことです。例を挙げると、\(0.5、-1.75\)などがあります。これらは\(\frac{1}{2}、-\frac{7}{4}\)と表せるので有理数です。

循環小数

循環小数とは、小数点以下が循環している小数のことです。例を挙げると\(0.333…、0.272727…\)などがあります。これらは\(\frac{1}{3}、\frac{3}{11}\)と表せるので有理数です。循環小数は循環している数の上に\(0.\dot{3},0.\dot{2}\dot{7}\)のようにドットをつけて表されます。

よくある例題

この単元でよく出される問題をいくつか紹介したいと思います。

例題　(分類する)

{\(0.\dot{4}\dot{2},\sqrt{2},-94,1.23,7\)}を整数、有限小数、循環小数、無理数に分類せよ。

解答

整数:\(-94,7\)
有限小数：\(1.23\)
循環小数：\(0.\dot{4}\dot{2}\)
無理数:\(\sqrt{2}\)

ルートが外せない数は無理数
小数点以下がない数は整数
小数点以下が循環しているかどうかで有限小数と循環小数を分ける

例題　(計算する)

循環小数\(0.\dot{5},0.\dot{1}23\dot{4}\)を分数で表せ。

解答

\(x=0.\dot{5}\)とおくと、\(10x=5.\dot{5}\)なので
\(10x-x=5\)
\(9x=5\)
\(x=\frac{5}{9}\)

\(x=0.\dot{1}23\dot{4}\) とおくと、\(10000x=1234.\dot{1}23\dot{4}\)なので
\(10000x-x=1234\)
\(9999x=1234\)
\(x=\frac{1234}{9999}\)

このように循環小数を分数で表すのは決まったやり方があります。この単元ではこれくらいしか計算をしないのでやり方を覚えてしまいましょう。