こんにちは、家庭教師のあすなろスタッフのカワイです！
今回は、平方根を含む除法(割り算)の解き方や、有理化について解説したいと思います。乗法(掛け算)でのやり方と似ているので、もしそちらが不安だなと思う人は、先に復習してみるといいかもしれません。
では、今回も頑張っていきましょう！
あすなろには、毎日たくさんのお悩みやご質問が寄せられます。
この記事は数学の教科書の採択を参考に中学校3年生のつまずきやすい単元の解説を行っています。
参照元：文部科学省 学習指導要領「生きる力」
=もくじ=
根を含む除法の計算
\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\)
根を含む乗法の計算では、根がついていること以外は、小学校で勉強した掛け算と変わらない計算方法で計算をすることが出来ました。
除法の場合も同様に、今までの割り算に根がついているだけと考えることができます。
ただし、除法の場合、有理化をしなければいけない場合があるので、一手間かかる場合があります。
言葉で説明しても、うまく伝えるのが難しいので、例を挙げて解説していきますね。
例1.\(\frac{\sqrt{42}}{\sqrt{6}}\)
乗法と同様に、\(\frac{42}{6}=7\)という感じで中身を計算して、最後に\(\sqrt{}\)を付けてあげればいいので、
$$\frac{\sqrt{42}}{\sqrt{6}}=\sqrt{7}$$
となります。
\(7\)は素数なのでここから素因数分解することもなく、\(\sqrt{7}\)が答えとなります。
例2.\(\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{30}}\)
次の問題も、\(\frac{10}{30}=\frac{1}{3}\)と解けるのが目に見えますね。従って、
$$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{30}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$
となります。
\(3\)は素数なので、計算はここで終わりです！
としたいところですが、分数の形の時に、分母は根号のない形にする方が扱いが容易なので、分母・分子の両方に、分母の根と同じ根を掛けます。(分母・分子のどちらにも掛けるので、答えの値自体は変わりません。)
では、実際にやってみましょう。
$$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}$$
$$=\frac{\sqrt{3}}{3}$$
分母が\(3\)、分子が\(\sqrt{3}\)なので、分かりやすい形になりました！
このように、有理化することで、答えの形をきれいにすることが出来ます。
何が綺麗なのかというと、
\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)を数字で表すと、\(\frac{1}{1.732…}\)
\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)を数字で表すと、\(\frac{1.732…}{3}\)
と、同じ答えを2つの方法で表す事が出来ますが、上の式では計算が明らかに面倒そうです。
一方で、下であれば3で割るので、\(0.57…\)位かな…と、明らかに下の方が実数での検討をつけやすいです。
まとめ
- 基本的に、根を考えずに計算→答えが分数でなければ、根を出せる数を探して終了。
- 答えが分数かつ、分母が\(\sqrt{}\)であれば、有理化をする。
根号を含む除法のやり方について理解することが出来ましたか？普通の割り算と殆ど変わらないということが分かれば良いですが、有理化だけは忘れず解けるようにしましょう！
やってみよう！
次の分数を有理化してみよう
- \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)
- \(\frac{2}{\sqrt{7}}\)
次の計算をしてみよう(必要があれば有理化すること)
- \(\sqrt{2}÷\sqrt{5}\)
- \(2\sqrt{3}÷3\sqrt{12}\)
こたえ
次の分数を有理化してみよう
- \(\frac{\sqrt{6}}{3}\)
- \(\frac{2\sqrt{7}}{7}\)
次の計算をしてみよう(必要があれば有理化すること)
- \(\frac{\sqrt{10}}{5}\)
- \(\frac{1}{3}\)
最後までご覧いただきありがとうございました。
｢数学でわからないところがある｣そんな時に役立つのが、勉強お役立ち情報！
数学の単元のポイントや勉強のコツをご紹介しています。
ぜひ参考にして、テストの点数アップに役立ててみてくださいね。
もし上記の問題で、わからないところがあればお気軽にお問い合わせください。少しでもお役に立てれば幸いです。
