こんにちは、家庭教師のあすなろスタッフのカワイです！
2次方程式の解き方について、解の公式や平方完成を用いたものを解説しましたが、簡単に解けそうな式であれば、解の公式をわざわざ使うことなく解きたいですね。
そこで今回は、平方根を用いた数ステップの簡単な解き方で解く方法を解説します！
(平方根についてよく分からないという人も、記事の途中で簡単な解説をしているので、良かったら最後まで読んでみてくださいね！)
あすなろには、毎日たくさんのお悩みやご質問が寄せられます。
この記事は数学の教科書の採択を参考に中学校3年生のつまずきやすい単元の解説を行っています。
参照元：文部科学省 学習指導要領「生きる力」
=もくじ=
【おさらい】平方根とは？
平方根は「2乗すると\(a\)になる数」のことをいい、「\(\sqrt{a}\)」と表します。\(\sqrt{}\)はルートといい、\(\sqrt{a}\)はルート\(a\)といいます。
これを式で表すと、
\(a = (±\sqrt{a})^{2}\)と書くことが出来ます。
平方根で解ける問題がある！
解の公式や平方完成での解き方は、ほとんどの2次方程式に対応している代わりに、計算過程が多くて計算ミスを発生しやすいです。そこで、簡単な問題はなるべく簡単な解法で解きたいと思いますよね。
では、一体どんな問題が簡単に解くことが出来るのかというと、一言でいえば\(x\)の項が無い式になります。式の形はどのようになっているのかというと、
\(ax^{2}+b=0\)
で表せるものです。では、実際に解いてきましょう！
例1.\(x^{2}-8=0\)
まず、\(8\)を右辺に持っていきます(両辺に\(8\)を足します)。
すると、
\(x^{2}=8\)
となります。次に\(x^{2}\)を\(x\)にする為に、両辺に平方根を取ります。
すると、左辺は\(x\)となり、右辺は\(±\sqrt{8}\)すなわち\(±2\sqrt{2}\)となります。ここに\(±\)がつくのは、\(-\sqrt{8}\)も\(+\sqrt{8}\)も2乗すると\(8\)となるからです。
したがって、答えは
\(x=2\sqrt{2}\)
と
\(x=-2\sqrt{2}\)
になります。シンプルで解きやすいと思いませんか？
同じように、他の問題も解いていきます！
例2.\(3x^{2}-9=0\)
次の問題は\(x^{2}\)に係数\(3\)がくっついています。ただ、解き方は例1とそう変わりません。
まず、\(-9\)を右辺に移項してみましょう。すると
\(3x^{2}=9\)となりました。
次に、\(x^{2}\)に1以外の係数がついていると、平方根を取った後も残ってやや面倒です。
そこで、両辺を3で割ることによって、先に消してしまいます。すると、
\(x^{2}=3\)
となります。ここまできたら、後は上と同じ解き方でいけます。平方根を取ると、
\(x=±\sqrt{3}\)
となるので、答えは
\(x=\sqrt{3}\)
と
\(x=-\sqrt{3}\)
となります。
例3.\((x+4)^{2}=9\)
このような形を見たら、とりあえず展開をしてみると解けるかな、という風に思うかもしれません。
これを展開してみると、
\(x^{2}+8x+16=9\)
\(x^{2}+8x+7=0\)
となります。完全に\(x\)の項が出てしまいました。これではここまで解いてきた方法では解けません。
さてどうするか…というところですが、この式は展開せずに解いていきます。
では、まず\((x+4)^{2}-9=0\)の\(9\)を右辺に移項します。すると
\((x+4)^{2}=9\)
となります。次に、これを\((x+4)^{2}\)のまま平方根を取ります。どういうことかというと、\(x+4\)を\(A\)と置くと、
\(A^{2}=9\)と書くことが出来て、これに平方根を取ったらすでに分かる通り、
\(A=±3\)となります。次に\(A\)の部分を戻すと、
\(x+4=±3\)となります。
この形に出来たら、後は\(x=\)の形にするだけなので、
答えは、
\(x=-1\)
と
\(x=-7\)
となります。(Aと置かなくても同様に解けるので、慣れている人は置かずに解いても全く問題ありません！)
解ける形に持っていけば簡単に解くことが出来ることが分かっていただけたでしょうか？
まとめ
- \(ax^{2}+b=0\)の形があれば、簡単に解ける！
- \((x+a)\)は\(A\)などにおいて対処しよう！
やってみよう！
次の2次方程式を解いてみよう。
- \(x^{2}-12=0\)
- \(4x^{2}-9=0\)
- \((x-3)^{2}-7=0\)
- 【これが出来たらOK!】\(6(x-2)^{2}-12=0\)
こたえ
- \(x=2\sqrt{3},-2\sqrt{3}\)
【解説】\(-12\)を移項して両辺に平方根をとると\(x=±\sqrt{12}\)となります。後は根を整理するだけです。 - \(x=\frac{3}{2},-\frac{3}{2}\)
【解説】\(-9\)を移項して両辺を4で割り、平方根をとると答えになります。 - \(x=3+\sqrt{7},3-\sqrt{7}\)
【解説】\(-7\)を移項して両辺に平方根をとると\(x-3=±\sqrt{7}\)となります。\(3\)を移項すれば答えです。 - \(x=2+\sqrt{2},2-\sqrt{2}\)
【解説】\(-12\)を移項して両辺を6で割り、平方根をとると\(x-2=±\sqrt{2}\)となります。\(2\)を移項すれば答えです。
最後までご覧いただきありがとうございました。
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