【中3数学】素因数分解とは?平方根を整数を含んだ形にする方法を解説します!

こんにちは、あすなろスタッフのカワイです。

今回は、素因数分解という単元について解説していきます!名前だけ見てみると、因数分解と同じじゃないか?と思うかもしれませんが、実際の内容はちょっと違います。

また、これを利用すると、平方根で様々なメリットがあります。どのようなところに用いることができるでしょうか?

今回も頑張っていきましょう!

関連記事:【中3数学】平方根ってなんだろう?正方形を用いて、平方根の意味を解説します!


あすなろには、毎日たくさんのお悩みやご質問が寄せられます。
この記事は数学の教科書に基づいて中学校3年生のつまずきやすい単元の解説を行っています。

文部科学省 学習指導要領「生きる力」

http://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/new-cs/index.htm

素因数分解とは?

素因数分解とは、一つの数字を複数の素数の積で表す操作のことをいいます。

因数分解では、多項式をいくつかの単項式の積で表す操作だったので、これは数字のみのバージョンということができます。

因数分解の場合は決まった組み合わせでしか表すことができませんでしたが、素数は数字なので、様々な表し方がありそうだと思われます。

しかし、素因数分解も同様に「素数のみ」で表す必要があるので、分解の結果は1つになります。

素数の復習

素数とは、その数が\(1\)とその数の2つでのみ割ることができる数のことです。例を挙げると、

$$2,3,5,7,11…$$

とあり、素数は無限にあるといわれています。

というのを前に学習したと思われます。では、これを用いて、実際に素因数分解してみましょう。

具体的に素因数分解をしてみる

例.\(180\)

ではさっそく、\(180\)という数を素因数分解して、素数だけの積の形にしてみましょう。

\(180\)は偶数なので、\(2\)で割ることができます。したがって、

$$180=2×90$$

\(90\)も同様に偶数であるので、

$$180=2×2×45$$

となります。\(45\)は5で割ることが出来るので、

$$180=2×2×5×9$$

\(9\)は\(3×3\)で表すことが出来るので、

$$180=2×2×3×3×5$$

となります。上記の数はすべて素数となっているので、これ以上分解することが出来ません。

最後に、同じ素数が複数ある場合は、それらを累乗の形にしなければなりません。すると、

$$180=2^{2}×3^{2}×5$$

となります。これで\(180\)の素因数分解は完了です。

ここで注意しなければならないのが、この分解の中に\(×1\)を含めてはいけません。\(1\)は素数のように思われがちですが、素数ではありません。 

ところで、素因数分解によって数を分解した因数のことを「素因数」といいます。

平方根の素因数分解の利用

では、素因数分解をどのように平方根に利用することが出来るのか紹介していきます。

結果から先にお伝えすると、平方根の形から「整数\(×\)平方根」や「整数」、「分数」の形にすることが出来ます。

どのような原理であるかというと、

√9を変形させると、3になることを表した図

上のようになります。単純に説明すると、根号内の数字を素因数分解して、2乗の素数で表すことができれば、それを整数として平方根の外に出すことが出来ます。

根号の外に出して整数や分数にするメリットは、その数の具体的な数を知ることが簡単になることです。

例えば、\(√16\)と\(4\)と表されたとき、\(4\)の方が明らかに分かりやすい形だといえます。

他の数字の例を挙げて、実際に行ってみましょう。

例2.\(√150\)

\(√150\)内の数字\(150\)をまず素因数分解していきます。

\(150\)は偶数なので\(2\)で割ることが出来ます。従って、

$$150=2×75$$

\(75\)は\(5\)で割ることが出来るので、

$$150=2×5×15$$

\(15\)は\(3×5\)と表されるので、

$$150=2×3×5×5$$

となります。これで素因数分解は完了です。この結果に根号\(√\)をつけてみると、

$$√2×3×5×5$$

となります。この中で同じ数字が2つあるもの(2乗とすることが出来そうなもの)を探してみると…\(5\)ですね。ではこれを二乗して根号の外に出してみると、

$$√5^{2}×√2×3$$

これはそのまま

$$5√2×3$$

となります。残りの\(√2×3\)は\(√6\)に戻してしまいましょう。従って、この結果は

$$5√6$$

となります。

まとめ

  • 素因数分解とは、数字を素数の積で表すことである。
  • 平方根に用いることで、平方根のみの形を「平方根×数字」や数字のみの形に変形させることができる

いかがでしたか?素因数分解を行うことによって、その数字がどの数字の掛け合わせによって出来ているのかを見ることが出来たり、平方根をより容易な形に変形することが出来ることが分かりました。

次回からは、今回学んだ素因数分解を用いて、平方根の乗除計算を行っていきますので、よろしければ次の解説記事も読んでみてください。

やってみよう!

次の整数を、素因数分解を用いて計算してみよう。

  1. \(30\)
  2. \(75\)
  3. \(100\)
  4. \(252\)

次の平方根を、整数×平方根、または整数の形にしてみよう。

  1. \(√45\)
  2. \(√56\)
  3. \(√121\)

答え

1.次の整数を、素因数分解を用いて計算してみよう。

  1. \(2×3×5\)
  2. \(3×5^{2}\)
  3. \(2^{2}×5^{2}\)
  4. \(2^{2}×3^{2}×7\)

2.次の平方根を、整数×平方根、または整数の形にしてみよう。

  1. \(3√5\)
  2. \(2√14\)
  3. \(11\)

最後までご覧いただきありがとうございました。

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