【中1数学】両辺に2つの項がある方程式もカンタンに解けるようになる!1次方程式の解き方を教えます!

こんにちは、あすなろスタッフのカワイです!

今回は、前回学んだ方程式の計算の応用になります!等式の性質が非常に重要なので、忘れてしまった方は等式の性質についての記事を読んでから、今回の記事を読んでみて下さい!

関連記事>>>【中1数学】方程式の式変形が苦手な人必見!等式の性質をマスターしよう!


あすなろには、毎日たくさんのお悩みやご質問が寄せられます。
この記事は数学の教科書に基づいて中学校1年生のつまずきやすい単元の解説を行っています。

文部科学省 学習指導要領「生きる力」

http://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/new-cs/index.htm

等式の性質のおさらい

方程式を解く上で重要な4つの性質がありました。計算する上で重要な法則なので、復習しましょう。

  1. 等式の両辺に同じ数や式を加えても、等式は成り立つ。
  2. 等式の両辺から同じ数や式を引いても、等式は成り立つ。
  3. 等式の両辺に同じ数をかけても、等式は成り立つ。
  4. 等式の両辺を同じ数で割っても、等式は成り立つ。

要約すると、式の片側の係数や項をどうにかしたいときは、同じ動作を=で繋いだもう一方側でも行わなければいけないという法則です。=というのは、繋がれた両辺の値が等しいことを表すので、当たり前といえば当たり前なのかもしれませんが、しっかり理解しておいてください。

1.\(3x+5=-4\)

まずは、この問題から解いていきましょう。

方程式は、知りたい文字=○○の形に持っていくことで、解にたどり着くことができます。

では、まず何をしたらいいでしょうか。考えられる手は2つありますね。

  • \(x\)の係数\(3\)が要らないから、両辺を3で割る
  • \(3x\)の後ろについた\(+5\)がいらないから、両辺から5を引く

\(x=\)の形にするには、この2つを実行すると上手くいきそうです。どちらの動作を先にやっても、式の両辺は等しいままなので、解にたどり着くことができます。しかし、解きやすい順序というものはあります。

最初の例題なので、2パターンの方法で解いていきましょう。

まず、3で割っていく方法で解いていきます!

$$3x+5=-4$$

$$\frac{3}{\color{red}{3}}x+\frac{5}{\color{red}{3}}=\frac{-4}{\color{red}{3}}$$

$$x+\frac{5}{3}=\frac{-4}{3}$$

これで\(x\)の係数が消えたので、後は\(+\frac{5}{3}\)を消し去ってあげましょう。

$$x+\frac{5}{3}\color{red}{-\frac{5}{3}}=\frac{-4}{3}\color{red}{-\frac{5}{3}}$$

$$x=\frac{-9}{3}$$

$$x=-3$$

以上より、解は\(-3\)であると分かりました!

次は、\(+5\)を先に引いていくやり方で解いていきましょう。

$$3x+5=-4$$

$$3x+5\color{red}{-5}=-4\color{red}{-5}$$

$$3x=-9$$

何か、さっきまでの計算に比べて、かなりスッキリとした形になっていることが分かります。

後は、\(x\)についている係数を取り去るために\(3\)で両辺を割ってあげればいいのですが、\(-9\)を\(3\)で割るのは非常に簡単ですね。

$$x=-3$$

同じ値の解がしっかり出てきました!割るのが先でも、引くのが先でも問題ないことを分かって頂けたでしょうか?

(ところで、この解というものは本当に正しいの?と思う人がいるかもしれません。もし正しいかどうか確認したいときは、一番最初の式の文字にその解の値を代入して計算してみて下さい。きっと両辺が同じ値になるはずです。もしちがったら、その解は間違っているということになります。)

ただ、計算の手軽さでいうと、若干違いますね。先に割ったやり方では、途中で分数が発生してしまい、少しだけ計算が面倒な形になってしまいましたが、後のやり方では、smoothに計算することができたと思います。従って、計算を進める順序は、

  1. 文字以外の項を取り払う
  2. 文字の係数を取り払う

というのが楽に計算するのに良いかもしれません。どうせ解くなら、楽な計算過程で解いていきたいですよね。その方が計算ミスも減っていいような気がします。

例.2 \(6y-5=-2y+11\)

今度は、文字を含む項と数だけの項がそれぞれ2つづつあります。これを何とかして、解を導出していきましょう。まず、計算を進めていく方針を考えましょう。

  1. 左側に文字、右側に数字だけの項になるように整理する
  2. 文字の係数を取り払う

まず、項を整理するには、両辺を同じ値で引いたり足したりすればいいはずです。それが終わったら、\(y\)の前についている数字を割るか掛けることによって、係数を消すことができます。このやり方で計算を進めていきたいと思います。

$$6y-5=-2y+11$$

$$6y\color{blue}{+2y}-5\color{red}{+5}=-2y\color{blue}{+2y}+11\color{red}{+5}$$

$$8y=16$$

ここで、色が変えてある部分は両辺で同じ操作をしている部分です。ここまで来たら、あとは\(y\)の係数を消してあげるだけです。

$$\frac{8}{\color{red}{8}}y=\frac{16}{\color{red}{8}}$$

$$y=2$$

以上より、解は\(2\)となりました!等式の性質さえ守れば、この解法以外でも大丈夫ですし、解へ導くことができます。

まとめ

解く順序

  • まず文字の項と数字だけの項に整理する
  • 文字の係数を取り払う

いかがでしたか?今回は等式の性質を全体を通して利用してきましたが、その計算の本質は足し算であり割り算であり、今までやってきた計算法則と変わりませんから、式が複雑そうだからと構える必要はありません。どうすると計算が楽になるかな?と考えつつ、計算していくのはいい事だと思います。

これで、1次方程式の大部分は解けるようになったかと思います。練習問題も用意してあるので、是非解いてみて下さいね。

やってみよう

次の方程式の解を求めてみよう

  1. \(3x-7=5\)
  2. \(8x-3=2x-15\)
  3. \(-9y-6=y+4\)
  4. \(2-3y=-10+y\)

こたえ

  1. \(x=4\)
  2. \(x=-2\)
  3. \(y=-1\)
  4. \(y=3\)

最後までご覧いただきありがとうございました!

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