【中1数学】方程式の式変形が苦手な人必見！等式の性質をマスターしよう！

こんにちは、あすなろスタッフのカワイです！

今回は、方程式を正しく解くために、「等式の性質」を学んでいきましょう！これさえマスターしてしまえば、多くの1次方程式の計算が解けるようになります！頑張っていきましょう！

あすなろには、毎日たくさんのお悩みやご質問が寄せられます。
この記事は数学の教科書に基づいて中学校1年生のつまずきやすい単元の解説を行っています。

文部科学省　学習指導要領「生きる力」

http://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/new-cs/index.htm

等式の性質は4つある

等式を解く上で、式変形は必ずといっていいほど行います。その式変形というのは、両辺(式の左辺と右辺)が等しい状態を保ったまま行う必要があります。等式が崩れてしまいますからね。

その等式の性質は全部で4つあります。では、1つずつ紹介していきます！

①等式の両辺に同じ数や式を加えても、等式は成り立つ。

式と言葉で表すと、

\(A=B\)ならば\(A\color{red}{+C}=B\color{red}{+C}\)

ということになります。両辺にそれぞれ異なる数や式を加えても、等式は成り立ちません。

この性質を使って方程式を解いてみます。例えば、

$$x-3=5$$

という式があったとします。片側の辺を\(x\)だけにすれば簡単に値が出せそうなので、\(-3\)を何とかして消したいですね。この時にこの性質が効果を発揮します！両辺に3を加えてみましょう。

$$x-3\color{red}{+3}=5\color{red}{+3} $$

$$x=8$$

\(x\)の値が決定できました！

②等式の両辺から同じ数や式を引いても、等式は成り立つ。

式と言葉で表すと、

\(A=B\)ならば\(A\color{red}{-C}=B\color{red}{-C}\)

ということになります。両辺からそれぞれ異なる数や式を引いても、等式は成り立ちません。

今度はこのような式を解いてみましょう。

$$y+8=11$$

①と違うのは、文字の後で数が引かれているか加えられているかという点ですね。文字に要らない数字が\(+\)されている時は、\(-\)して消してあげましょう！

$$y+8\color{red}{-8}=11\color{red}{-8}$$

$$y=3$$

③等式の両辺に同じ数をかけても、等式は成り立つ。

式と言葉で表すと、

\(A=B\)ならば\(A\color{red}{C}=B\color{red}{C}\)

ということになります。両辺にそれぞれ異なる数や式を掛けても、等式は成り立ちません。

この性質を用いてこのような式を解いてみましょう。

$$\frac{x}{4}=3$$

今回の場合は、文字についている分母がない方が都合が良いですね。数字で割られてしまっている分を、同じ数だけ両辺にかけてあげれば消すことが出来ます。

$$\frac{x}{4}\color{red}{×4}=3\color{red}{×4}$$

$$x=12$$

④等式の両辺を同じ数でわっても、等式は成り立つ。

式と言葉で表すと、

\(A=B\)ならば\(\frac{A}{\color{red}{C}}=\frac{B}{\color{red}{C}}\) \((C\neq{0})\)

ということになります。両辺をそれぞれ異なる数や式で割っても、等式は成り立ちません。また、割る数に0を持ってくることはできませんので注意してください！

今度は③の逆です。文字に掛けている数字を見つけたら、割って消してあげましょう！

$$5y=20$$

これを計算していきます！

$$\frac{5y}{\color{red}{5}}=\frac{20}{\color{red}{5}}$$

$$y=4$$

以上4つが等式の性質です。ここまで見てもらえば分かった方もいると思いますが、\(「+-×÷」\)でそれぞれ両辺を同じ数だけ計算によって変えてあげればいいということです。

まとめ

• 片方の辺が文字だけになるように、式変形をしよう！
  • 文字から数字が引かれているときは同じ数だけ両辺に加える！
  • 文字に数字が加えられているときは同じ数だけ両辺から引く！
  • 文字が数字で割られているときは同じ数で両辺をかける！
  • 文字が数字で掛けられているときは同じ数で両辺を割る！

ここまで例に挙げてきた式は、複数の性質を用いないものでしたが、複数の性質を利用して式変形しないと解けない問題もあります。そんなときはどうしたら良いでしょうか。そのような問題について、別記事で取り上げるので、そちらも参考にしてみて下さい！

やってみよう！

次の式を等式の性質を使って解いてみよう。

1. $$x-3=2$$
2. $$y+5=3$$
3. $$\frac{x}{3}=5$$
4. $$2y=8$$

答え

1. $$x-3\color{red}{+3}=2\color{red}{+3}$$$$x=5$$
2. $$y+5\color{red}{-5}=3\color{red}{-5}$$$$y=-2$$
3. $$\frac{x}{3}\color{red}{×3}=5\color{red}{×3}$$$$x=15$$
4. $$\frac{2y}{\color{red}{2}}=\frac{8}{\color{red}{2}}$$$$y=4$$

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