【中3数学】乗法の展開公式を用いて、複雑な式を展開する方法を解説します!

こんにちは、あすなろスタッフのカワイです。

多項式を展開するときの4つの公式では、\((x+a)(x+b)\)のような型の計算を体系的に解くことが出来ると学んだと思いますが、この型とは少し違うものも、公式に当てはめて解くことが出来ます!

なので今回は、様々なパターンにおいて、公式を用いて解く方法を解説します!

前回の記事はこちら:【中2数学】多項式を展開するときの4つの便利な公式を覚えよう!


あすなろには、毎日たくさんのお悩みやご質問が寄せられます。
この記事は数学の教科書に基づいて中学校2年生のつまずきやすい単元の解説を行っています。

文部科学省 学習指導要領「生きる力」

http://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/new-cs/index.htm

復習

多項式の展開の公式

  • \((x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+ab\)
  • \((x+a)^{2}=x^{2}+2ax+a^{2}\)
  • \((x-a)^{2}=x^{2}-2ax+a^{2}\)
  • \((x+a)(x-a)=x^{2}-a^{2}\)

係数が2以上の変数をもつ多項式同士に公式を用いた展開方法

1.\((3x+4)(3x-1)\)を展開してみよう

上の式を見ると、\((3x+…)(3x+…)\)となっていますが、公式を見ると\((x+…)(x+…)\)となっているので、一見公式で解くことが出来ないように思えます。

しかし、ここで諦めてはいけません。ここが工夫どころです。

\(3x\)を仮に\(X\)とおいて、もう一度式を見ると、

$$(X+4)(X-1)$$

となります。このように1つ目の公式に寄せることができれば、公式に従って解くことが出来ます!

仮に\(X\)をおいた式について、公式を用いて展開すると

$$(X+4)(X-1)=X^{2}+3X-4$$

となります。

ここまで展開出来たら、仮の姿である\(X\)を元の姿である\(3x\)に戻してあげましょう。

$$X^{2}+3X-4=(3x)^{2}+3(3x)-4$$

$$9x^{2}+9x-4$$

これで展開完了です!

このような式に慣れてきたら、\(X\)などに置き換えずに解いても大丈夫です!慣れないうちはミスを防げるので、他の文字で置いて考えるようにしましょう。

※\((3x+…)(4x+…)\)のように、異なる係数となっているときは、公式を用いることが出来ないので注意して下さい。

2種類の変数をもつ多項式同士に公式を用いた展開方法

2.\(3x-y)(3x+4y)\)を展開してみよう

前の例題で、変数に係数がついていても公式を用いて解くことが出来ることが分かりました。それを踏まえてこの例題を見ていきます。

次の式は何というか、\(x\)と\(y\)が同居していて、複雑にみえます。

これを公式に当てはめる為に、

  • \(3x\)の部分を\(X\)におく
  • \(y\)は文字として考えて、そのまま解いていく

という手段を以て、進めていきます。

まず、\(3x\)を\(X\)と仮に置きます。すると式は、

$$(X-y)(X+4y)$$

となります。これは、1つ目の公式\((x+a)(x+b)\)に当てはめることができそうです。

$$(X-y)(X+4y)=X^{2}+3yX+(-y)×(4y)$$

\(X\)を\(3x\)に戻してあげると

$$(3x-y)(3x+4y)=(3x)^{2}+3y(3x)+(-y)×(4y)$$

$$=9x^{2}+9xy-4y^{2}$$

となりました。

項が3以上の多項式同士に公式を用いた展開方法

3.\((x+y-3)(x+y+2)\)を展開してみよう

これは公式使えないだろ…と思った方、甘いですよ。

文字の部分に着目してみると、

$$x+y$$

が共通しています。

さて、これを何かの文字で置き換えてみたらどうなるでしょうか…?

\(x+y\)を仮に\(A\)と置くと、

$$(A-3)(A+2)$$

となります。

これは明らかに公式で解くことが出来る形ですね!このまま解き進めていきましょう。

\((x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+ab\)より、

$$A^{2}-A-6$$

\(A\)を\(x+y\)に戻してあげると、

$$(x+y)^{2}-(x+y)-6$$

$$x^{2}+2xy+y^{2}-x-y-6$$

となりました!

共通の組み合わせを見つけることができれば、このように解くことが出来ます!

まとめ

  • 2以上の係数のついた変数は、別の文字に置き換える!
  • 共通の組み合わせを見つけて、別の文字に置き換えると解ける場合がある!

今回上記で解いた問題は、公式を用いなくても展開することが可能です。しかし、公式に則って解いた方が数学的で効率的な解き方だと思います!是非、似たような様々な問題で、公式に持ち込める方法を探して解いてみて下さい!

やってみよう!

次の問題を展開してみよう。

  1. \((2x-5)(2x+3)\)
  2. \((2x-3y)(2x+3y)\)
  3. \((x+2y-1)^{2}\)

答え

  1. \(4x^{2}-4x-15\)
  2. \(4x^{2}-9y^{2}\)
  3. \(x^{2}+4xy+4y^{2}-2x-4y+1\)

最後までご覧いただきありがとうございました。

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