こんにちは、あすなろスタッフのカワイです！
今回は、前回学んだ方程式の計算の応用になります！等式の性質が非常に重要なので、忘れてしまった方は等式の性質についての記事を読んでから、今回の記事を読んでみて下さい！
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この記事は数学の教科書に基づいて中学校1年生のつまずきやすい単元の解説を行っています。
文部科学省 学習指導要領「生きる力」
等式の性質とは？
方程式を解く上で重要な4つの性質があります。
- 等式の両辺に同じ数や式を加えても、等式は成り立つ。
- 等式の両辺から同じ数や式を引いても、等式は成り立つ。
- 等式の両辺に同じ数をかけても、等式は成り立つ。
- 等式の両辺を同じ数で割っても、等式は成り立つ。
カンタンに言うと、式の片側の数字や項自体を四則計算によって変えたいときは、同じ四則計算を＝で繋いだもう一方側でも行わなければいけないという法則です。
等式の性質について詳しく学びたい方はこちらの記事を参考にしてみてください。
例1.\(3x+5=-4\)
まずは、この問題から解いていきましょう。
方程式は、知りたい文字=○○の形に持っていくことで、解にたどり着くことができます。
\(3x+5=-4\)を\(x=\)の形にするために打てる手は２つ考えられます。
- \(x\)の係数\(3\)が要らないから、両辺を3で割る
- \(3x\)の後ろについた\(+5\)がいらないから、両辺から５を引く
この2つを実行すると上手くいきそうです。どちらの動作を先にやっても、式の両辺は等しいままなので、解にたどり着くことができます。しかし、解きやすい順序というものはあります。
最初の例題なので、2パターンの方法で解いていきましょう。
まず、3で割っていく方法で解いていきます！
$$3x+5=-4$$
$$\frac{3}{\color{red}{3}}x+\frac{5}{\color{red}{3}}=\frac{-4}{\color{red}{3}}$$
$$x+\frac{5}{3}=\frac{-4}{3}$$
これで\(x\)の係数が消えたので、後は\(+\frac{5}{3}\)を消し去ってあげましょう。
$$x+\frac{5}{3}\color{red}{-\frac{5}{3}}=\frac{-4}{3}\color{red}{-\frac{5}{3}}$$
$$x=\frac{-9}{3}$$
$$x=-3$$
以上より、解は\(-3\)であると分かりました！
次は、\(+5\)を先に引いていくやり方で解いていきましょう。
$$3x+5=-4$$
$$3x+5\color{red}{-5}=-4\color{red}{-5}$$
$$3x=-9$$
さっきまでの計算に比べて、かなりスッキリとした形になっていることが分かります。
後は、\(x\)についている係数を取り去るために\(3\)で両辺を割ってあげればいいのですが、\(-9\)を\(3\)で割るのは非常に簡単ですね。
$$x=-3$$
同じ値の解がしっかり出てきました！割るのが先でも、引くのが先でも問題ないことを分かって頂けたでしょうか？
ただ、計算の手軽さが若干異なります。先に割ったやり方では、途中で分数が発生してしまい、計算が面倒な形になってしまいましたが、先に引いたやり方では楽に計算することができたと思います。従って、計算を進める順序は、
- 文字以外の項を取り払う
- 文字の係数を取り払う
というのが楽に計算するのに良いかもしれません。その方が計算ミスも減っていいと思います。
ところで、この解というものは本当に正しいの？と思う人がいるかもしれません。もし正しいかどうか確認したいときは、一番最初の式の文字にその解の値を代入して計算してみて下さい。きっと両辺が同じ値になるはずです。もしちがったら、その解は間違っているということになります。
例.2 \(6y-5=-2y+11\)
今度の式は、文字を含む項と数だけの項がそれぞれ2つあります。この解を導出していきましょう。
まず、計算を進めていく方針を考えていきます。
- 左側に文字、右側に数字だけの項になるように整理する
- 文字の係数を取り払う
まず、項を整理するには、両辺を同じ値で引いたり足したりすればいいはずです。その後は\(y\)の前についている数字を割るか掛けることによって、係数を消すことができます。このやり方で計算を進めていきます。
$$6y-5=-2y+11$$
$$6y\color{blue}{+2y}-5\color{red}{+5}=-2y\color{blue}{+2y}+11\color{red}{+5}$$
$$8y=16$$
ここで、色が変えてある部分は両辺で同じ操作をしている部分です。ここまで来たら、あとは\(y\)の係数を消してあげるだけです。
$$\frac{8}{\color{red}{8}}y=\frac{16}{\color{red}{8}}$$
$$y=2$$
以上より、解は\(2\)となりました！等式の性質さえ守れば、この解法以外でも解を導くことができます。
まとめ
方程式の解は
- 文字の項と数字だけの項に整理する
- 文字の係数を取り払う
の順に計算を行うことで解くことが出来ます。
今回は等式の性質を全体を通して利用してきましたが、その計算の本質は足し算であり割り算であり、今までやってきた計算法則と変わりませんから、式が複雑そうだからと構える必要はありません。どうすると計算が楽になるかな？と考えつつ、計算していきましょう。
やってみよう
次の方程式の解を求めてみよう
- \(3x-7=5\)
- \(8x-3=2x-15\)
- \(-9y-6=y+4\)
- \(2-3y=-10+y\)
こたえ
-
\(x=4\)
【解説】両辺に\(7\)を足すと\(3x=12\)となる。次に両辺を\(3\)で割ると解となる。 -
\(x=-2\)
【解説】両辺に\(3\)を足すと\(8x=2x-12\)となる。次に両辺に\(-2x\)を足すと\(6x=-12\)となる。次に両辺を\(6\)で割ると解となる。 -
\(y=-1\)
【解説】両辺に\(6\)を足すと\(-9y=y+10\)となる。次に両辺に\(y\)を引くと\(-10y=10\)となる。次に両辺を\(-10\)で割ると解となる。 -
\(y=3\)
【解説】両辺に\(2\)を引くと\(-3y=-12+y\)となる。次に両辺に\(y\)を引くと\(-4y=-12\)となる。次に両辺を\(-4\)で割ると解となる。
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