【中3数学】平方根の練習問題にチャレンジ！(解説あり)

こんにちは、あすなろスタッフのカワイです。

今回は平方根の問題演習です。

全部解くことが出来たら、この単元を十分理解していると言っても過言ではありません！

もし出来ない問題があっても、分からない問題について復習できるページを紹介していますので、

一度力試しと思って解いてみてください！

では、今回も頑張っていきましょう！

あすなろには、毎日たくさんのお悩みやご質問が寄せられます。
この記事は数学の教科書の採択を参考に中学校3年生のつまずきやすい単元の解説を行っています。

参照元：文部科学省　学習指導要領「生きる力」

問題演習

問題のレベルは1～3まであります。

• レベル1は基礎編として、平方根の基本的な性質についての確認をします。
• レベル2では計算の為の変形方法の確認をします。これが出来れば計算問題にもスムーズに取り組めると思います。
• レベル3は根号を含んだ計算です。これが出来ればこの単元をおおむね理解したと言っていいでしょう！

レベル1から順に解いて、おおむね理解出来たら次のレベルに進んでみましょう。

では、早速始めてみましょう！

レベル1(基礎編)

1. 次の平方根を示そう。
   1. \(7\)
   2. \(9\)
   3. \(13\)
2. 次を根号を使わずに表そう。
   1. \(\sqrt{16}\)
   2. \(-\sqrt{64}\)
3. 次の大小を不等号(＞,＜)を用いて表そう。
   1. \(2\)、\(\sqrt{5}\)
   2. \(5\)、\(\sqrt{19}\)

レベル2(根号の数の変形・有理化編)

1. 次を\(a\sqrt{b}\)の形で表してみよう。
   1. \(\sqrt{32}\)
   2. \(\sqrt{48}\)
   3. \(\sqrt{72}\)
2. 次を\(\sqrt{a}\)の形で表してみよう。
   1. \(4\sqrt{2}\)
   2. \(3\sqrt{6}\)
3. 次を有理化してみよう。
   1. \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
   2. \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\)
   3. \(\frac{4}{3\sqrt{2}}\)

レベル3(根号を含む計算編)

1. 次の計算をしてみよう。
   1. \(\sqrt{10}×\sqrt{6}\)
   2. \(\sqrt{12}×\sqrt{8}\)
   3. \(4\sqrt{5}÷3\sqrt{2}\)
   4. \(5\sqrt{3}÷2\sqrt{5}\)
   5. \(4\sqrt{2}+7\sqrt{2}\)
   6. \(3\sqrt{3}-5\sqrt{3}+8\sqrt{3}\)
   7. \(2\sqrt{5}+3\sqrt{2}-\sqrt{5}+4\sqrt{2}\)
   8. \(\sqrt{12}+\sqrt{27}-\sqrt{75}\)

解答

レベル1

1. 次の平方根を示そう。
   1. \(7=\sqrt{7}、-\sqrt{7}\)
      【解説】\(7\)の平方根は、それに根号を付けた\(\sqrt{7}\)と負の数である\(-\sqrt{7}\)の2つが出てきます。この2つの平方根をそれぞれ二乗すると、確かに7に戻すことが出来ますね。(負の方も、二乗すれば正になります。)
   2. \(9=3、-3\)
      【解説】\(9\)の平方根は、\(3×3=9\)と表せることから、\(3\)となります。また、\((-3)×(-3)=9\)ともなるので、\(-3\)も\(9\)の平方根となります。
   3. \(13=\sqrt{13}、-\sqrt{13}\)
      【解説】1.の解説を参照
2. 次を根号を使わずに表そう。
   1. \(\sqrt{16}=4\)
      【解説】\(16=4×4\)となるので、\(4\)となります。
   2. \(-\sqrt{64}=-8\)
      【解説】\(-\sqrt{64}=-\sqrt{(8×8)}\)となるので、\(-8\)となります。
3. 次の大小を不等号(＞,＜)を用いて表そう。
   1. \(2＜\sqrt{5}\)
      【解説】\(2\)を根号を使って表すと、\(\sqrt{4}\)となります。\(\sqrt{4}\)＜\(\sqrt{5}\)なので、\(2＜\sqrt{5}\)となります。
   2. \(5＞\sqrt{19}\)
      【解説】\(5\)を根号を使って表すと、\(\sqrt{25}\)となります。\(\sqrt{25}\)＞\(\sqrt{19}\)なので、\(5＞\sqrt{19}\)となります。

上の問題が難しいと感じた方や、平方根の意味についてわからない方は、こちらのページを見てみてください！

【中3数学】平方根ってなんだろう？正方形を用いて、平方根の意味を解説します！

レベル2

1. 次を\(a\sqrt{b}\)の形で表してみよう。
   1. \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\)
      【解説】\(32\)を素因数分解すると、\(32=2×2×2×2×2\)となります。2つあるものは、その値から根号を外した形にすることが出来るので、\(\sqrt{32}=2×2×\sqrt{2}\)すなわち\(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\)となります。
   2. \(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\)
      【解説】1.と同様に、素因数分解をして計算をすると、\(\sqrt{48}=2×2×\sqrt{3}\)となります。
   3. \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\)
      【解説】1.と同様に、素因数分解をして計算をすると、\(\sqrt{72}=2×3×\sqrt{2}\)となります。
2. 次を\(\sqrt{a}\)の形で表してみよう。
   1. \(4\sqrt{2}=\sqrt{32}\)
      【解説】\(4\)を根号の形にすると\(\sqrt{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}\)となります。従って、\(\sqrt{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=\sqrt{32}\)となります。
   2. \(3\sqrt{6}=\sqrt{54}\)
      【解説】\(3=\sqrt{3}×\sqrt{3}\)より、\(3\sqrt{6}=\sqrt{3}×\sqrt{3}×\sqrt{6}=\sqrt{54}\)となります。
3. 次を有理化してみよう。
   1. \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
      【解説】\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)のうち、分母の\(\sqrt{3}\)を整数にしたいので、\(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)をかけると、\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)となります。
   2. \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{15}}{5}\)
      【解説】\(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\)のうち、分母の\(\sqrt{5}\)を整数にしたいので、\(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\)をかけると、\(\frac{\sqrt{15}}{5}\)
   3. \(\frac{4}{3\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\)
      【解説】\(\frac{4}{3\sqrt{2}}\)のうち、分母の\(\sqrt{2}\)を整数にしたいので、\(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\)をかけると、\(\frac{4\sqrt{2}}{6}\)となります。約分すると\(\frac{2\sqrt{2}}{3}\)となります。

上の問題が難しいと感じた方や、根⇔整数の変形・有理化についてわからない方は、こちらのページを見てみてください！

【中3数学】素因数分解とは？平方根を整数を含んだ形にする方法を解説します！

【中3数学】根を含む除法(割り算)・有理化のやり方を解説します！

レベル3

1. 次の計算をしてみよう。
   1. \(\sqrt{10}×\sqrt{6}=2\sqrt{15}\)
      【解説】\(\sqrt{10}×\sqrt{6}=\sqrt{2}×\sqrt{2}×\sqrt{3}×\sqrt{5}\)と分解でき、\(\sqrt{2}×\sqrt{2}=2\)なので、最後にかけると\(2\sqrt{15}\)となります。
   2. \(\sqrt{12}×\sqrt{8}=4\sqrt{6}\)
      【解説】1.と同様に解くことが出来ます。
   3. \(4\sqrt{5}÷3\sqrt{2}=\frac{2\sqrt{10}}{3}\)
      【解説】分数の形にすると、\(\frac{4\sqrt{5}}{3\sqrt{2}}\)となります。次に、これを有理化すると、\(\frac{4\sqrt{10}}{6}\)となります。最後に、これを約分して\(\frac{2\sqrt{10}}{3}\)となります。
   4. \(5\sqrt{3}÷2\sqrt{5}=\frac{\sqrt{15}}{2}\)
      【解説】3.と同様に解くことが出来ます。
   5. \(4\sqrt{2}+7\sqrt{2}=11\sqrt{2}\)
      【解説】同じ根を持つ項同士は、根ではない部分同士の計算をすることで解くことが出来ます。今回の場合は\(\sqrt{2}\)が共通である為、\(4\)と\(7\)を足して\(11\)となり、\(11\sqrt{2}\)となります。
   6. \(3\sqrt{3}-5\sqrt{3}+8\sqrt{3}=6\sqrt{3}\)
      【解説】5.と同様に解くことが出来ます。
   7. \(2\sqrt{5}+3\sqrt{2}-\sqrt{5}+4\sqrt{2}=\sqrt{5}+7\sqrt{2}\)
      【解説】同じ根を持つ項同士を計算すれば解くことが出来ると思います。
   8. \(\sqrt{12}+\sqrt{27}-\sqrt{75}=0\)
      【解説】一見するとこれ以上解くことが出来なさそうな式ですが、それぞれの項を素因数分解することで解くことが出来ます。\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)のように各項を素因数分解すると、 \(2\sqrt{3}+3\sqrt{3}-5\sqrt{3}=0\)となる。

上の問題が難しいと感じた方や、根を含む式の計算についてわからない方は、こちらのページを見てみてください！

【中3数学】根号を含む式のいろいろな計算のやり方を解説します！

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